(2x+y)³

Решим задачу \( (2x + y)^3 \) с помощью разложения по формуле бинома Ньютона. Это позволит нам понять, как применяется эта формула для выражения, возведенного в куб. ### Шаг 1: Вспомним формулу бинома Ньютона Для любого двучлена \( (a + b)^n \) можно использовать формулу: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k \] где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \). ### Шаг 2: Подставим значения В нашем случае: - \( a = 2x \) - \( b = y \) - \( n = 3 \) Теперь мы можем использовать формулу для \( n = 3 \): \[ (2x + y)^3 = \sum_{k=0}^{3} C(3, k) \cdot (2x)^{3-k} \cdot y^k \] ### Шаг 3: Найдем биномиальные коэффициенты Для \( n = 3 \) биномиальные коэффициенты \( C(3, k) \) будут следующие: - \( C(3, 0) = 1 \) - \( C(3, 1) = 3 \) - \( C(3, 2) = 3 \) - \( C(3, 3) = 1 \) ### Шаг 4: Подставим коэффициенты в формулу Теперь подставим \( k = 0, 1, 2, 3 \) в формулу: 1. Для \( k = 0 \): \[ C(3, 0) \cdot (2x)^3 \cdot y^0 = 1 \cdot (2x)^3 \cdot 1 = (2x)^3 = 8x^3 \] 2. Для \( k = 1 \): \[ C(3, 1) \cdot (2x)^2 \cdot y^1 = 3 \cdot (2x)^2 \cdot y = 3 \cdot 4x^2 \cdot y = 12x^2y \] 3. Для \( k = 2 \): \[ C(3, 2) \cdot (2x)^1 \cdot y^2 = 3 \cdot (2x) \cdot y^2 = 3 \cdot 2x \cdot y^2 = 6xy^2 \] 4. Для \( k = 3 \): \[ C(3, 3) \cdot (2x)^0 \cdot y^3 = 1 \cdot 1 \cdot y^3 = y^3 \] ### Шаг 5: Соединим все части Теперь, когда мы нашли все части, объединим их: \[ (2x + y)^3 = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 \] ### Окончательный ответ Таким образом, результат возведения в куб выражения \( (2x + y) \) выглядит так: \[ (2x + y)^3 = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 \] Если есть еще вопросы или нужна помощь по другим задачам, не стесняйтесь обращаться!