(2x+y)³

Решим задачу \( (2x + y)^3 \) с помощью разложения по формуле бинома Ньютона. Это позволит нам понять, как применяется эта формула для выражения, возведенного в куб.

Шаг 1: Вспомним формулу бинома Ньютона

Для любого двучлена \( (a + b)^n \) можно использовать формулу:

\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]

где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Шаг 2: Подставим значения

В нашем случае:

• \( a = 2x \)
• \( b = y \)
• \( n = 3 \)

Теперь мы можем использовать формулу для \( n = 3 \):

\[ (2x + y)^3 = \sum_{k=0}^{3} C(3, k) \cdot (2x)^{3-k} \cdot y^k \]

Шаг 3: Найдем биномиальные коэффициенты

Для \( n = 3 \) биномиальные коэффициенты \( C(3, k) \) будут следующие:

• \( C(3, 0) = 1 \)
• \( C(3, 1) = 3 \)
• \( C(3, 2) = 3 \)
• \( C(3, 3) = 1 \)

Шаг 4: Подставим коэффициенты в формулу

Теперь подставим \( k = 0, 1, 2, 3 \) в формулу:

1. Для \( k = 0 \): \[ C(3, 0) \cdot (2x)^3 \cdot y^0 = 1 \cdot (2x)^3 \cdot 1 = (2x)^3 = 8x^3 \]

2. Для \( k = 1 \): \[ C(3, 1) \cdot (2x)^2 \cdot y^1 = 3 \cdot (2x)^2 \cdot y = 3 \cdot 4x^2 \cdot y = 12x^2y \]

3. Для \( k = 2 \): \[ C(3, 2) \cdot (2x)^1 \cdot y^2 = 3 \cdot (2x) \cdot y^2 = 3 \cdot 2x \cdot y^2 = 6xy^2 \]

4. Для \( k = 3 \): \[ C(3, 3) \cdot (2x)^0 \cdot y^3 = 1 \cdot 1 \cdot y^3 = y^3 \]

Шаг 5: Соединим все части

Теперь, когда мы нашли все части, объединим их:

\[ (2x + y)^3 = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 \]

Окончательный ответ

Таким образом, результат возведения в куб выражения \( (2x + y) \) выглядит так:

\[ (2x + y)^3 = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 \]

Если есть еще вопросы или нужна помощь по другим задачам, не стесняйтесь обращаться!