Давайте разберёмся с этой задачей шаг за шагом.
Условия задачи
Олег решает 6 задач, и для того чтобы получить 5 баллов, ему нужно решить минимум 4 задачи. Вероятность того, что он решит одну задачу, равна 0,8 (или 80%).
Задача по вероятности
Мы будем использовать биномиальное распределение, так как количество задач фиксировано, и мы рассматриваем успех (Олег решает задачу) и неудачу (Олег не решает задачу).
Обозначим:
- ( n = 6 ) — общее количество задач
- ( k ) — количество решённых задач
- ( p = 0,8 ) — вероятность решения задачи
- ( q = 1 - p = 0,2 ) — вероятность не решения задачи
Мы хотим найти вероятность того, что Олег решит 4 или более задач (4, 5 или 6 задач).
Формула биномиального распределения
Вероятность того, что произойдут ровно ( k ) успехов (решённых задач) из ( n ) заданий определяется формулой:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Несколько расчётов
Теперь необходимо вычислить вероятности для ( k = 4, 5, 6 ).
Вероятность для ( k = 4 ):
[
P(X = 4) = C(6, 4) \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^2
]
Биномиальный коэффициент:
[
C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
]
Вероятность:
[
P(X = 4) = 15 \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^2 = 15 \cdot 0.4096 \cdot 0.04 = 0.24576
]
Вероятность для ( k = 5 ):
[
P(X = 5) = C(6, 5) \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^1
]
Биномиальный коэффициент:
[
C(6, 5) = 6
]
Вероятность:
[
P(X = 5) = 6 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^1 = 6 \cdot 0.32768 \cdot 0.2 = 0.393216
]
Вероятность для ( k = 6 ):
[
P(X = 6) = C(6, 6) \cdot (0.8)^6 \cdot (0.2)^0 = 1
]
Вероятность:
[
P(X = 6) = 1 \cdot (0.8)^6 \cdot 1 = 0.262144
]
Общая вероятность
Теперь мы складываем вероятности для ( k = 4, 5, 6 ):
[
P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)
]
[
P(X \geq 4) = 0.24576 + 0.393216 + 0.262144 = 0.90112
]
Округление
Округляя до сотых, получаем:
[
P(X \geq 4) \approx 0,90
]
Ответ
Вероятность того, что Олег получит пятёрку, составляет примерно 0,90 (или 90%).
