На тренировке по футболу каждый игрок делает 15 ударов по воротам. Определи вероятность, что игрок забьет в ворота от 3 до 5 раз, если вероятность его попадания при каждом…
На тренировке по футболу каждый игрок делает 15 ударов по воротам. Определи вероятность, что игрок забьет в ворота от 3 до 5 раз, если вероятность его попадания при каждом отдельном броске равна 0,8
Мы имеем дело с биномиальным распределением, так как каждый удар по воротам имеет два возможных исхода: гол или промах. Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Количество ударов \(n = 15\).
- Вероятность забить при каждом ударе \(p = 0,8\).
- Нам нужно определить вероятность того, что игрок забьет от 3 до 5 раз.
Шаг 1: Формула биномиального распределения
Вероятность забить ровно \(k\) раз равна: \[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] где \(C_n^k\) — биномиальный коэффициент: \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Шаг 2: Вероятности для k = 3, 4, 5
Вычислим вероятности для \(k = 3, 4, 5\) и сложим их.
\(P(X = 3)\): \[ P(X = 3) = C_{15}^3 \cdot 0,8^3 \cdot 0,2^{12} \] \[ C_{15}^3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455 \] \[ P(X = 3) = 455 \cdot 0,8^3 \cdot 0,2^{12} \]
\(P(X = 4)\): \[ P(X = 4) = C_{15}^4 \cdot 0,8^4 \cdot 0,2^{11} \] \[ C_{15}^4 = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365 \] \[ P(X = 4) = 1365 \cdot 0,8^4 \cdot 0,2^{11} \]
\(P(X = 5)\): \[ P(X = 5) = C_{15}^5 \cdot 0,8^5 \cdot 0,2^{10} \] \[ C_{15}^5 = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003 \] \[ P(X = 5) = 3003 \cdot 0,8^5 \cdot 0,2^{10} \]
Шаг 3: Общее вероятностное значение
\[ P(3 \leq X \leq 5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) \]
Подставьте вычисленные значения в формулы для каждого \(P(X = k)\) и сложите их для получения итоговой вероятности. Используйте калькулятор для точного результата.
Это будет полное решение с учетом заданных параметров.
