Площадь правильного треугольника равна 10. найди радиус вписанной в этот треугольник окружности

Для нахождения радиуса вписанной в правильный (равносторонний) треугольник окружности (обозначим его буквой \( r \)), мы можем использовать формулу для площади треугольника и связь между площадью, периметром и радиусом вписанной окружности. ### Шаг 1: Формула площади треугольника Площадь \( S \) правильного треугольника может быть выражена через радиус вписанной окружности \( r \) и полупериметр \( p \): \[ S = r \cdot p \] Где полупериметр \( p \) равен половине периметра треугольника. Для правильного треугольника со стороной \( a \), периметр \( P \) будет равен \( 3a \), и полупериметр будет: \[ p = \frac{P}{2} = \frac{3a}{2} \] ### Шаг 2: Формула радиуса окружности Радиус вписанной окружности \( r \) равен: \[ r = \frac{S}{p} \] ### Шаг 3: Подставляем значения Зная, что \( S = 10 \) (площадь треугольника), можем выразить радиус через площадь и полупериметр. Сначала найдем \( a \) через известную площадь треугольника. Площадь правильного треугольника также можно выразить через сторону: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] ### Шаг 4: Выражаем сторону \( a \) Теперь подставим известное значение площади: \[ 10 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] Умножим обе стороны на 4: \[ 40 = a^2 \sqrt{3} \] Теперь найдем \( a^2 \): \[ a^2 = \frac{40}{\sqrt{3}} \] И найдем \( a \): \[ a = \sqrt{\frac{40}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{40}}{\sqrt[4]{3}} = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3}} \] ### Шаг 5: Находим полупериметр \( p \) Теперь подставим в формулу полупериметра: \[ p = \frac{3a}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3}} = \frac{3\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3}} \] ### Шаг 6: Теперь можем найти радиус вписанной окружности \( r \) Подставляем \( S \) и \( p \) в формулу для \( r \): \[ r = \frac{S}{p} = \frac{10}{\frac{3\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3}}} = \frac{10 \cdot \sqrt[4]{3}}{3\sqrt{10}} = \frac{10\sqrt[4]{3}}{3\sqrt{10}} \] ### Шаг 7: Упрощаем радиус Для упрощения: \[ r = \frac{10 \cdot \sqrt[4]{3}}{3\sqrt{10}} = \frac{10 \cdot \sqrt[4]{3}}{3 \cdot \sqrt{10}} = \frac{10 \cdot \sqrt[4]{3}}{3 \cdot \sqrt[4]{100}} = \frac{10\sqrt[4]{3}}{30} = \frac{\sqrt[4]{3}}{3} \] Заметьте, что для числового приблизительного значения можно подставить числовые значения \( \sqrt{3} \) и \( \sqrt{10} \), если это необходимо. ### Ответ Таким образом, радиус вписанной в правильный треугольник окружности равен \( \frac{10 \cdot \sqrt[4]{3}}{3\sqrt{10}} \) или приблизительно 1.39 в численном представлении.