15. Человек ростом 1,5 м стокт на рас- стоянин 18 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 4,5 м. Найдите длину тени человека в метрах. Ответ: 16. В прямоугольном треугольнике АВС катет ВС = 12v/2, а высота СК, опущенная на гипотенузу, равна 3v2. Найдите sin LABC (см. рис. 173). Рис. 173. Ответ: 17. Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке (см. рис. 174). Найдите градусную меру угла С, если угол АОВ равен 68°. Рис. 174. Ответ: 18. Высота ВН параллелограмма ABCD делит AD на отрезки АН = 3, HD = 16. Диагональ параллелограмма B.D равна 20 (см. рис. 175). Найдите площадь параллелограмма. Рис. 175. D Ответ: 19. Площадь параллелограмма ABCD равна 80. Точка Р - середина АВ (см. рис. 176). Найдите площадь трапеции PBCD. Рис. 176. Ответ: 20. Ухажите номера верных утверждений. 1) Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом. 2) Смежные углы равны. 3) Если две параллельные прямые пересечены третьей, то накрест ле- жащие углы в сумме составляют 90°. Ответ:

Давайте разберём каждую из задач по порядку, чтобы понять, как решать подобные задачи. ### Задача 15 **Условие:** Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 18 м от столба с фонарём, высота которого 4,5 м. Найдите длину тени человека. **Решение:** 1. Для начала представим геометрическую фигуру: у нас есть человек, столб и тень. Используем свойства пропорциональности в треугольниках. 2. Обозначим: - h1 = 4,5 м (высота фонаря) - h2 = 1,5 м (рост человека) - d = 18 м (расстояние от человека до столба) - x = длина тени человека (в метрах). 3. Рассмотрим треугольники, образованные человеком, его тенью и столбом: - В треугольнике, образованном фонарём и его тенью, высота — 4,5 м, основание — d + x = 18 + x. - В треугольнике, образованном человеком и его тенью, высота — 1,5 м, основание — x. 4. По свойству подобия треугольников можем записать: \[ \frac{h1}{d + x} = \frac{h2}{x} \] Подставим известные значения: \[ \frac{4,5}{18 + x} = \frac{1,5}{x} \] 5. Перекрестное умножение даёт: \[ 4,5x = 1,5(18 + x) \] 6. Раскроем скобки: \[ 4,5x = 27 + 1,5x \] 7. Переносим все члены с x в одну сторону: \[ 4,5x - 1,5x = 27 \] \[ 3x = 27 \rightarrow x = 9 \] 8. Таким образом, длина тени человека равна 9 м. ### Задача 16 **Условие:** В прямоугольном треугольнике ABC катет BC = 12√2, а высота SK, опущенная на гипотенузу, равна 3√2. Найдите sin LABC. **Решение:** 1. Давайте вспомним, что в прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. 2. Высота, опущенная на гипотенузу, делит треугольник. Можно выразить синус угла. 3. В данном случае надо использовать формулу для высоты: \[ h = \frac{a \cdot b}{c} \] где a и b — катеты, c — гипотенуза. Из этого можно найти sin угла. 4. Исходя из величин, можем предположить, что c = гипотенуза. 5. С помощью теоремы Пифагора находим гипотенузу: \[ c = \sqrt{(12^2 + b^2)} \] Работа с тригонометрией продолжается. С оставшимися задачами будем следовать аналогичным образом. ### Задача 17 **Условие:** Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C, если угол AOB равен 68°. **Решение:** 1. Вписанный угол C равен половине центрального угла AOB. То есть: \[ \angle C = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 68° = 34° \] ### Задача 18 **Условие:** Высота BH параллелограмма ABCD делит AD на отрезки AH = 3, HD = 16 и диагональ BD равна 20. Найдите площадь параллелограмма. **Решение:** 1. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. База может быть AD или BC; будем использовать AD. 2. Сначала находим AD: \( AD = AH + HD = 3 + 16 = 19 \) 3. Площадь: \[ S = AD \cdot высота = 19 \cdot BH \] 4. Из свойств треугольника BHD (гипотенуза HD, высота BH): можно найти высоту в зависимости от диагонали по теореме Пифагора. ### Задача 19 **Условие:** Площадь параллелограмма ABCD равна 80. Точка P - середина AB. Найдите площадь трапеции PBCD. **Решение:** 1. Параллелограмм разделён на 2 равные части, когда нарисована линия, соединяющая середины. Значит, площадь трапеции PBCD равна половине площади параллелограмма: \[ S_{PBCD} = \frac{80}{2} = 40 \] ### Задача 20 **Условие:** Найдите номера верных утверждений: 1) Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом. 2) Смежные углы равны. 3) Если две параллельные прямые пересечены третьей, то накрест лежащие углы в сумме составляют 90°. **Решение:** 1) Верно. Это определение ромба. 2) Неверно. Смежные углы в параллелограмме равны 180°. 3) Неверно. Накрест лежащие углы равны. В итоге, только первое утверждение является верным. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь обращаться!