Реши с дано, найти, решение
Давайте разберем каждую из задач по порядку.
Запишите первые пять членов геометрической прогрессии, если \( b_1 = -13 \), \( q = 3 \).
Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член после первого получается умножением предыдущего на некоторое постоянное число \( q \), называемое знаменателем прогрессии.
Члены прогрессии можно найти по формуле: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]
Для чисел:
\[ b_1 = -13 \] \[ b_2 = -13 \cdot 3 = -39 \] \[ b_3 = -39 \cdot 3 = -117 \] \[ b_4 = -117 \cdot 3 = -351 \] \[ b_5 = -351 \cdot 3 = -1053 \]
Таким образом, первые пять членов прогрессии: \(-13, -39, -117, -351, -1053\).
Для геометрической прогрессии вычислите \( b_6 \), если \( b_{12} = 125 \), \( q = 5 \).
Формула для нахождения \( b_n \):
\[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]
Можно выразить \( b_1 \) через \( b_{12} \):
\[ b_{12} = b_1 \cdot q^{11} = 125 \]
Таким образом:
\[ b_1 = \frac{125}{5^{11}} \]
Теперь найдём \( b_6 \):
\[ b_6 = b_1 \cdot 5^5 = \frac{125}{5^{11}} \cdot 5^5 = \frac{125}{5^6} = \frac{125}{15625} \approx 0.008 \]
Найти знаменатель геометрической прогрессии, если \( b_1 = 7.5 \), \( b_3 = 30 \).
Известно, что:
\[ b_3 = b_1 \cdot q^2 \] \[ 30 = 7.5 \cdot q^2 \] \[ q^2 = \frac{30}{7.5} = 4 \] \[ q = 2 \quad \text{или} \quad q = -2 \]
Найти номер подчеркнутого члена геометрической прогрессии: 135; 45; ...; 5.
Используем формулу \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \).
Здесь \( b_1 = 135 \), \( b_2 = 45 \).
Найдём \( q \):
\[ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{45}{135} = \frac{1}{3} \]
Член подчеркивается:
\[ b_n = 5 = 135 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \] \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{27} \] \[ n-1 = 3 \] \[ n = 4 \]
Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если \( b_1 = 5 \), \( b_7 = 567 \).
\[ b_7 = b_1 \cdot q^6 \] \[ 567 = 5 \cdot q^6 \] \[ q^6 = \frac{567}{5} \approx 113.4 \]
Решим уравнение для \( q \) численно, то есть \( q \approx 2.75165 \).
Найдите пятый член и знаменатель геометрической прогрессии с положительными членами, если \( b_4 = 9 \), \( b_6 = 181 \).
Пусть \( b_4 = b_1 \cdot q^3 = 9 \) и \( b_6 = b_1 \cdot q^5 = 181 \).
Используем отношение:
\[ \frac{b_6}{b_4} = q^2 = \frac{181}{9} \]
\[ q = \sqrt{\frac{181}{9}} \approx 4.472 \]
Находим \( b_1 \):
\[ b_1 = \frac{9}{q^3} \approx 0.101 \]
Находим \( b_5 \):
\[ b_5 = b_1 \cdot q^4 \approx 0.101 \cdot 4.472^4 \approx 43.314 \]
Эти шаги помогут вам понять, как решать аналогичные задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
