Докажите, что разность кубов чисел 89 и 25 делится на 64. Вычеркните в числе 32365427 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. Найдите четырёхзначное число, кратное 75, все цифры которого различны и нечётны

### Задача 1: Докажите, что разность кубов чисел 89 и 25 делится на 64. Разность кубов \( a^3 - b^3 \) можно выразить через формулу: \[ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \] В нашем случае \( a = 89 \) и \( b = 25 \). 1. **Вычислим разность**: \[ a - b = 89 - 25 = 64 \] 2. **Теперь найдём \( a^2 + ab + b^2 \)**: - Сначала вычислим \( a^2 \): \[ a^2 = 89^2 = 7921 \] - Затем \( b^2 \): \[ b^2 = 25^2 = 625 \] - Теперь найдём \( ab \): \[ ab = 89 \times 25 = 2225 \] 3. **Теперь можем найти \( a^2 + ab + b^2 \)**: \[ a^2 + ab + b^2 = 7921 + 2225 + 625 = 10771 \] 4. **Теперь, по формуле разности кубов**: \[ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) = 64 \times 10771 \] 5. **Разность \( a^3 - b^3 \)** делится на 64, так как \( (a-b) = 64 \), следовательно, любое произведение, где один из множителей делится на 64, также будет делиться на 64. Таким образом, разность кубов чисел 89 и 25 делится на 64. --- ### Задача 2: Вычеркните в числе 32365427 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. Чтобы число делилось на 12, оно должно делиться на 3 и на 4. 1. **Проверка делимости на 3**: Сумма цифр числа 32365427: \[ 3 + 2 + 3 + 6 + 5 + 4 + 2 + 7 = 32 \] Сумма цифр должна делиться на 3. 2. **Проверка делимости на 4**: Чтобы число делилось на 4, последние две цифры должны образовывать число, которое делится на 4. Теперь давайте попробуем удалить три цифры. Рассмотрим пример удаления 3, 2 и 5: Оставшееся число: - 346427 Проверим: - Сумма цифр: \( 3 + 4 + 6 + 4 + 2 + 7 = 26\) (не делится на 3) Теперь попробуем удалить 3, 6 и 2: Оставшееся число: - 345427 Проверим: - Сумма цифр: \( 3 + 4 + 5 + 4 + 2 + 7 = 25\) (не делится на 3) Если удалим 2, 3 и 6: Остается 5427, делим на 3 (2+7=9, делится). И 27 делится на 4. Оставшиеся цифры: - 3427 Число, которое делится на 12: 3420 --- ### Задача 3: Найдите четырёхзначное число, кратное 75, все цифры которого различны и нечётны. Число кратно 75, если оно кратно 3 и 25. 1. **Кратность 25**: - Последние две цифры должны быть 25, 75, или 00. Из-за условия, что все цифры различны и нечётны, подойдут только 75. 2. **Кратность 3**: - Сумма цифр должна делиться на 3. Оставшиеся варианты для первой цифры: 1, 3, 5, 7, 9. Получается, если добавить 1 или 3 или 5 или 9 к 7 и 5 (последние цифры): - 1: 1 + 5 + 7 + 5 = 18 (делится) - 3: 3 + 5 + 7 + 5 = 20 (не делится) - 5: 5 + 5 + 7 + 5 = 22 (не делится) - 9 : 9 + 5 + 7 + 5 = 22 (не делится) Число 1975 подходит. Подытожим, одно из решений — это 1975.