Докажите, что разность кубов чисел 89 и 25 делится на 64. Вычеркните в числе 32365427 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. Найдите четырёхзначное число, кратное…

Задача 1: Докажите, что разность кубов чисел 89 и 25 делится на 64.

Разность кубов \( a^3 - b^3 \) можно выразить через формулу:

\[ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \]

В нашем случае \( a = 89 \) и \( b = 25 \).

1. Вычислим разность: \[ a - b = 89 - 25 = 64 \]

2. Теперь найдём \( a^2 + ab + b^2 \):

   • Сначала вычислим \( a^2 \): \[ a^2 = 89^2 = 7921 \]

   • Затем \( b^2 \): \[ b^2 = 25^2 = 625 \]

   • Теперь найдём \( ab \): \[ ab = 89 \times 25 = 2225 \]

3. Теперь можем найти \( a^2 + ab + b^2 \): \[ a^2 + ab + b^2 = 7921 + 2225 + 625 = 10771 \]

4. Теперь, по формуле разности кубов: \[ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) = 64 \times 10771 \]

5. Разность \( a^3 - b^3 \) делится на 64, так как \( (a-b) = 64 \), следовательно, любое произведение, где один из множителей делится на 64, также будет делиться на 64.

Таким образом, разность кубов чисел 89 и 25 делится на 64.

Задача 2: Вычеркните в числе 32365427 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12.

Чтобы число делилось на 12, оно должно делиться на 3 и на 4.

1. Проверка делимости на 3: Сумма цифр числа 32365427: \[ 3 + 2 + 3 + 6 + 5 + 4 + 2 + 7 = 32 \] Сумма цифр должна делиться на 3.

2. Проверка делимости на 4: Чтобы число делилось на 4, последние две цифры должны образовывать число, которое делится на 4.

Теперь давайте попробуем удалить три цифры.

Рассмотрим пример удаления 3, 2 и 5:

Оставшееся число:

• 346427

Проверим:

• Сумма цифр: \( 3 + 4 + 6 + 4 + 2 + 7 = 26\) (не делится на 3)

Теперь попробуем удалить 3, 6 и 2:

Оставшееся число:

• 345427

Проверим:

• Сумма цифр: \( 3 + 4 + 5 + 4 + 2 + 7 = 25\) (не делится на 3)

Если удалим 2, 3 и 6: Остается 5427, делим на 3 (2+7=9, делится). И 27 делится на 4.

Оставшиеся цифры:

• 3427

Число, которое делится на 12: 3420

Задача 3: Найдите четырёхзначное число, кратное 75, все цифры которого различны и нечётны.

Число кратно 75, если оно кратно 3 и 25.

1. Кратность 25:

   • Последние две цифры должны быть 25, 75, или 00. Из-за условия, что все цифры различны и нечётны, подойдут только 75.

2. Кратность 3:

   • Сумма цифр должна делиться на 3. Оставшиеся варианты для первой цифры: 1, 3, 5, 7, 9.

   Получается, если добавить 1 или 3 или 5 или 9 к 7 и 5 (последние цифры):

   • 1: 1 + 5 + 7 + 5 = 18 (делится)
   • 3: 3 + 5 + 7 + 5 = 20 (не делится)
   • 5: 5 + 5 + 7 + 5 = 22 (не делится)
   • 9 : 9 + 5 + 7 + 5 = 22 (не делится)

Число 1975 подходит.

Подытожим, одно из решений — это 1975.