Давайте решим задачу поэтапно.
Дано:
- Радиус окружности, вписанной в основание пирамиды (r = 3\sqrt{10}).
- Длина бокового ребра пирамиды (l = 18).
Необходимо найти:
Шаг 1: Найдем длину стороны основания.
В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине длины стороны основания квадрата.
Обозначим длину стороны квадрата как (a):
[
r = \frac{a}{2}
]
Следовательно, мы можем выразить сторону через радиус:
[
a = 2r = 2 \times 3\sqrt{10} = 6\sqrt{10}
]
Шаг 2: Найдем координаты вершин.
В подготовительной работе для нахождения высоты удобно расположить пирамиду в системе координат:
- Пусть центром квадрата будет точка (O(0, 0, 0)), а вершины квадрата расположены в точках:
- (A\left(-3\sqrt{10}, -3\sqrt{10}, 0\right))
- (B\left(3\sqrt{10}, -3\sqrt{10}, 0\right))
- (C\left(3\sqrt{10}, 3\sqrt{10}, 0\right))
- (D\left(-3\sqrt{10}, 3\sqrt{10}, 0\right))
Вершина пирамиды (V) будет находиться выше центра основания по оси (z):
[
V(0, 0, h)
]
Шаг 3: Найдем длину бокового ребра и составим уравнение.
Длина бокового ребра — это расстояние от вершины пирамиды (V) до любой из вершин основания (например, точки (A)):
[
l = \sqrt{(0 - (-3\sqrt{10}))^2 + (0 - (-3\sqrt{10}))^2 + (h - 0)^2}
]
Упрощаем:
[
l = \sqrt{(3\sqrt{10})^2 + (3\sqrt{10})^2 + h^2} = \sqrt{90 + h^2}
]
Шаг 4: Подставим известные значения.
Мы знаем, что (l = 18), поэтому:
[
18 = \sqrt{90 + h^2}
]
Теперь возведем обе части в квадрат:
[
18^2 = 90 + h^2
]
[
324 = 90 + h^2
]
Теперь решим уравнение для (h^2):
[
h^2 = 324 - 90 = 234
]
Шаг 5: Найдем высоту пирамиды.
Теперь найдем (h):
[
h = \sqrt{234} = \sqrt{9 \cdot 26} = 3\sqrt{26}
]
Ответ:
Высота пирамиды (h = 3\sqrt{26}).
