8. Радиус окружности, вписанной в основание правильной четы-рёхугольной пирамиды, равен 3√10 а длина бокового ребра пира миды равна 18. Найдите высоту пирамиды.

Давайте решим задачу поэтапно.

Дано:

• Радиус окружности, вписанной в основание пирамиды \(r = 3\sqrt{10}\).
• Длина бокового ребра пирамиды \(l = 18\).

Необходимо найти:

• Высоту пирамиды \(h\).

Шаг 1: Найдем длину стороны основания.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине длины стороны основания квадрата.

Обозначим длину стороны квадрата как \(a\): \[ r = \frac{a}{2} \] Следовательно, мы можем выразить сторону через радиус: \[ a = 2r = 2 \times 3\sqrt{10} = 6\sqrt{10} \]

Шаг 2: Найдем координаты вершин.

В подготовительной работе для нахождения высоты удобно расположить пирамиду в системе координат:

• Пусть центром квадрата будет точка \(O(0, 0, 0)\), а вершины квадрата расположены в точках:
  • \(A\left(-3\sqrt{10}, -3\sqrt{10}, 0\right)\)
  • \(B\left(3\sqrt{10}, -3\sqrt{10}, 0\right)\)
  • \(C\left(3\sqrt{10}, 3\sqrt{10}, 0\right)\)
  • \(D\left(-3\sqrt{10}, 3\sqrt{10}, 0\right)\)

Вершина пирамиды \(V\) будет находиться выше центра основания по оси \(z\): \[ V(0, 0, h) \]

Шаг 3: Найдем длину бокового ребра и составим уравнение.

Длина бокового ребра — это расстояние от вершины пирамиды \(V\) до любой из вершин основания (например, точки \(A\)): \[ l = \sqrt{(0 - (-3\sqrt{10}))^2 + (0 - (-3\sqrt{10}))^2 + (h - 0)^2} \]

Упрощаем: \[ l = \sqrt{(3\sqrt{10})^2 + (3\sqrt{10})^2 + h^2} = \sqrt{90 + h^2} \]

Шаг 4: Подставим известные значения.

Мы знаем, что \(l = 18\), поэтому: \[ 18 = \sqrt{90 + h^2} \] Теперь возведем обе части в квадрат: \[ 18^2 = 90 + h^2 \] \[ 324 = 90 + h^2 \] Теперь решим уравнение для \(h^2\): \[ h^2 = 324 - 90 = 234 \]

Шаг 5: Найдем высоту пирамиды.

Теперь найдем \(h\): \[ h = \sqrt{234} = \sqrt{9 \cdot 26} = 3\sqrt{26} \]

Ответ:

Высота пирамиды \(h = 3\sqrt{26}\).