реши

Чтобы найти длину дуги кривой с заданной параметризацией, нужно воспользоваться интегралом длины кривой. Для параметрически заданной кривой \( x(t) \) и \( y(t) \) длина дуги от \( t = a \) до \( t = b \) вычисляется по формуле:

\[ L = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt \]

Для задачи имеем:

\[ x(t) = \cos t + t \sin t, \quad y(t) = \sin t - t \cos t \]

Теперь найдём производные:

1. \(\frac{dx}{dt} = -\sin t + \sin t + t \cos t = t \cos t\)
2. \(\frac{dy}{dt} = \cos t - (\cos t + t \sin t) = -t \sin t\)

Теперь подставим в формулу длины дуги:

\[ L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(t \cos t)^2 + (-t \sin t)^2} \, dt \]

Упростим подкоренное выражение:

\[ (t \cos t)^2 + (-t \sin t)^2 = t^2 \cos^2 t + t^2 \sin^2 t = t^2 (\cos^2 t + \sin^2 t) = t^2 \]

Таким образом, имеем:

\[ L = \int_0^{2\pi} \sqrt{t^2} \, dt = \int_0^{2\pi} |t| \, dt \]

Так как на интервале \( [0, 2\pi] \) \( t \) всегда положительно, можем убрать модуль:

\[ L = \int_0^{2\pi} t \, dt \]

Находим интеграл:

\[ L = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{2\pi} = \frac{(2\pi)^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{4\pi^2}{2} = 2\pi^2 \]

Таким образом, длина дуги равна \( 2\pi^2 \).