реши
Чтобы найти длину дуги кривой, заданной параметрически, необходимо использовать формулу для длины дуги:
\[ L = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt \]
Кривая задана уравнениями: \[ x = \cos t + t \sin t, \quad y = \sin t - t \cos t \]
Сначала найдем производные \( \frac{dx}{dt} \) и \( \frac{dy}{dt} \):
\(\frac{dx}{dt} = -\sin t + \sin t + t \cos t = t \cos t\)
\(\frac{dy}{dt} = \cos t - \cos t + t \sin t = t \sin t\)
Теперь подставим производные в формулу для длины дуги:
\[ L = \int_a^b \sqrt{(t \cos t)^2 + (t \sin t)^2} \, dt \]
Упростим выражение под корнем:
\[ (t \cos t)^2 + (t \sin t)^2 = t^2 \cos^2 t + t^2 \sin^2 t = t^2 (\cos^2 t + \sin^2 t) = t^2 \]
Поскольку \(\cos^2 t + \sin^2 t = 1\), получается:
\[ L = \int_a^b \sqrt{t^2} \, dt = \int_a^b |t| \, dt \]
При положительных значениях параметра \(t\), \(|t| = t\). Таким образом:
\[ L = \int_a^b t \, dt \]
Для конкретных значений параметра \(a\) и \(b\), которые определяют часть кривой, нужно просто проинтегрировать это выражение:
\[ L = \left[\frac{t^2}{2}\right]_a^b = \frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2} \]
Чтобы конкретно вычислить длину дуги, необходимо знать пределы интегрирования \(a\) и \(b\). Если они не заданы, длина может быть выражена как функция этих пределов.
