ответь

Чтобы найти длину дуги кривой, заданной параметрически, давайте разберем процесс шаг за шагом.

Даны уравнения: \[ x = \cos t + t\sin t \] \[ y = \sin t - t\cos t \]

Для нахождения длины дуги кривой необходимо вычислить интеграл: \[ L = \int \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt \]

Сначала найдем производные \( \frac{dx}{dt} \) и \( \frac{dy}{dt} \).

1. Вычислим \( \frac{dx}{dt} \):

   \[ x = \cos t + t\sin t \]

   \[ \frac{dx}{dt} = -\sin t + \sin t + t\cos t = t\cos t \]

2. Вычислим \( \frac{dy}{dt} \):

   \[ y = \sin t - t\cos t \]

   \[ \frac{dy}{dt} = \cos t - (\cos t - t\sin t) = t\sin t \]

Теперь подставим производные в формулу длины дуги:

\[ L = \int \sqrt{(t\cos t)^2 + (t\sin t)^2} \, dt \]

Упростим подкоренное выражение:

\[ (t\cos t)^2 + (t\sin t)^2 = t^2\cos^2 t + t^2\sin^2 t = t^2(\cos^2 t + \sin^2 t) = t^2 \]

Таким образом, формула для длины дуги упрощается до:

\[ L = \int \sqrt{t^2} \, dt = \int |t| \, dt \]

Чтобы вычислить этот интеграл, необходимо знать пределы интегрирования для параметра \( t \) (например, от 0 до некоторого значения \( t_1 \)). Предположим, что \( t \) изменяется от 0 до \( a \):

\[ L = \int_0^a t \, dt = \left[\frac{t^2}{2}\right]_0^a = \frac{a^2}{2} \]

Таким образом, длина дуги от \( t = 0 \) до \( t = a \) равна \(\frac{a^2}{2}\).