Реши

Для нахождения объема тела, ограниченного поверхностями \(x^2 + 4y^2 = 1\), \(z = x\) и \(z = 0\), следует использовать метод интегрирования по цилиндрическим координатам, так как одна из поверхностей представляет собой эллипс. ### 1. Параметры эллипса: Уравнение \(x^2 + 4y^2 = 1\) описывает эллипс в плоскости \(xy\) с полуосями 1 вдоль оси \(x\) и 0.5 вдоль оси \(y\). Эта фигура вращается вокруг оси \(x\). ### 2. Границы интегрирования и область: Даем пределы \(x\) от 0 до 1, так как \(x \geq 0\). ### 3. Выражение для объема: Ищем объем, интегрируя по оси \(x\), при этом изменяя переменные на цилиндрические координаты. Объем задается как: \[ V = \int_{x=0}^{x=1} \int_{y=-\sqrt{\frac{1-x^2}{4}}}^{y=\sqrt{\frac{1-x^2}{4}}} \int_{z=0}^{z=x} dz \, dy \, dx \] #### Интегрируем по \(z\): \[ \int_{z=0}^{z=x} dz = x \] Следовательно, выражение преобразуется к: \[ V = \int_{x=0}^{x=1} \int_{y=-\sqrt{\frac{1-x^2}{4}}}^{y=\sqrt{\frac{1-x^2}{4}}} x \, dy \, dx \] #### Интегрируем по \(y\): Поскольку \(x\) здесь является константой относительно \(y\): \[ \int_{y=-\sqrt{\frac{1-x^2}{4}}}^{y=\sqrt{\frac{1-x^2}{4}}} x \, dy = 2x \sqrt{\frac{1-x^2}{4}} = x \sqrt{1-x^2} \] ### 4. Интегрируем по \(x\): Теперь найдем интеграл по \(x\): \[ V = \int_{x=0}^{x=1} x \sqrt{1-x^2} \, dx \] Для этой задачи удобно использовать замену \(u = 1 - x^2\), где \(du = -2x \, dx\). Интеграл становится: \[ V = \frac{1}{2} \int_{u=1}^{u=0} \sqrt{u} \, (-du) = \frac{1}{2} \int_{u=0}^{u=1} \sqrt{u} \, du \] Интегрирование дает нам: \[ V = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \] ### Заключение: Таким образом, объем искомого тела равен \(\frac{1}{3}\). В ответе введите период полученной дроби: 3.