реши

Для нахождения объема тела, ограниченного поверхностями \(x^2 + 4y^2 = 1\), \(z = x\) и \(z = 0\), следует использовать метод интегрирования по цилиндрическим координатам, так как одна из поверхностей представляет собой эллипс.

1. Параметры эллипса:

Уравнение \(x^2 + 4y^2 = 1\) описывает эллипс в плоскости \(xy\) с полуосями 1 вдоль оси \(x\) и 0.5 вдоль оси \(y\). Эта фигура вращается вокруг оси \(x\).

2. Границы интегрирования и область:

Даем пределы \(x\) от 0 до 1, так как \(x \geq 0\).

3. Выражение для объема:

Ищем объем, интегрируя по оси \(x\), при этом изменяя переменные на цилиндрические координаты. Объем задается как:

\[ V = \int_{x=0}^{x=1} \int_{y=-\sqrt{\frac{1-x^2}{4}}}^{y=\sqrt{\frac{1-x^2}{4}}} \int_{z=0}^{z=x} dz \, dy \, dx \]

Интегрируем по \(z\):

\[ \int_{z=0}^{z=x} dz = x \]

Следовательно, выражение преобразуется к:

\[ V = \int_{x=0}^{x=1} \int_{y=-\sqrt{\frac{1-x^2}{4}}}^{y=\sqrt{\frac{1-x^2}{4}}} x \, dy \, dx \]

Интегрируем по \(y\):

Поскольку \(x\) здесь является константой относительно \(y\):

\[ \int_{y=-\sqrt{\frac{1-x^2}{4}}}^{y=\sqrt{\frac{1-x^2}{4}}} x \, dy = 2x \sqrt{\frac{1-x^2}{4}} = x \sqrt{1-x^2} \]

4. Интегрируем по \(x\):

Теперь найдем интеграл по \(x\):

\[ V = \int_{x=0}^{x=1} x \sqrt{1-x^2} \, dx \]

Для этой задачи удобно использовать замену \(u = 1 - x^2\), где \(du = -2x \, dx\). Интеграл становится:

\[ V = \frac{1}{2} \int_{u=1}^{u=0} \sqrt{u} \, (-du) = \frac{1}{2} \int_{u=0}^{u=1} \sqrt{u} \, du \]

Интегрирование дает нам:

\[ V = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \]

Заключение:

Таким образом, объем искомого тела равен \(\frac{1}{3}\).

В ответе введите период полученной дроби: 3.