Чтобы найти уравнение касательной к графику функции ( y = x^2 - 6x + 5 ) в точке ( x = 4 ), давайте разберемся с шагами, которые необходимо выполнить.
Шаг 1: Найдем значение функции в точке ( x = 4 )
Подставим ( x = 4 ) в уравнение функции:
[
y = (4)^2 - 6(4) + 5
]
Посчитаем:
[
y = 16 - 24 + 5 = -3
]
Таким образом, точка касания ( A(4, -3) ).
Шаг 2: Найдем производную функции
Производная функции ( y ) описывает наклон касательной. Найдем производную функции ( y = x^2 - 6x + 5 ):
[
\frac{dy}{dx} = 2x - 6
]
Теперь подставим ( x = 4 ) для нахождения углового коэффициента касательной:
[
\frac{dy}{dx}\bigg|_{x = 4} = 2(4) - 6 = 8 - 6 = 2
]
Это значит, что угловой коэффициент касательной в точке ( x = 4 ) равен 2.
Шаг 3: Составим уравнение касательной
Зная угловой коэффициент ( m = 2 ) и координаты точки касания ( A(4, -3) ), можно использовать уравнение касательной в точке:
[
y - y_0 = m(x - x_0)
]
где ( (x_0, y_0) ) — это точка касания. Подставим значения:
[
y - (-3) = 2(x - 4)
]
Упростим:
[
y + 3 = 2x - 8
]
[
y = 2x - 8 - 3
]
[
y = 2x - 11
]
Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке ( x = 4 ) имеет вид:
[
y = 2x - 11
]
Шаг 4: Построение графика
- График функции: начертите параболу ( y = x^2 - 6x + 5 ).
- Точка ( A(4, -3) ): отметьте на графике данную точку.
- Касательная линия: проведите линию с угловым коэффициентом 2, проходящую через точку ( (4, -3) ) — это будет ваша касательная.
Заключение
Таким образом, мы нашли уравнение касательной к функции ( y = x^2 - 6x + 5 ) в точке ( x = 4 ) и подробно обосновали каждый шаг. Если у вас есть дополнительные вопросы по узким местам, не стесняйтесь спрашивать!
