составить уравнение касательной к графику функции в точке и сделать чертеж y=x²-6x+5 в точке x=4
Чтобы найти уравнение касательной к графику функции \( y = x^2 - 6x + 5 \) в точке \( x = 4 \), давайте разберемся с шагами, которые необходимо выполнить.
Шаг 1: Найдем значение функции в точке \( x = 4 \)
Подставим \( x = 4 \) в уравнение функции:
\[ y = (4)^2 - 6(4) + 5 \]
Посчитаем:
\[ y = 16 - 24 + 5 = -3 \]
Таким образом, точка касания \( A(4, -3) \).
Шаг 2: Найдем производную функции
Производная функции \( y \) описывает наклон касательной. Найдем производную функции \( y = x^2 - 6x + 5 \):
\[ \frac{dy}{dx} = 2x - 6 \]
Теперь подставим \( x = 4 \) для нахождения углового коэффициента касательной:
\[ \frac{dy}{dx}\bigg|_{x = 4} = 2(4) - 6 = 8 - 6 = 2 \]
Это значит, что угловой коэффициент касательной в точке \( x = 4 \) равен 2.
Шаг 3: Составим уравнение касательной
Зная угловой коэффициент \( m = 2 \) и координаты точки касания \( A(4, -3) \), можно использовать уравнение касательной в точке:
\[ y - y_0 = m(x - x_0) \]
где \( (x_0, y_0) \) — это точка касания. Подставим значения:
\[ y - (-3) = 2(x - 4) \]
Упростим:
\[ y + 3 = 2x - 8 \]
\[ y = 2x - 8 - 3 \]
\[ y = 2x - 11 \]
Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке \( x = 4 \) имеет вид:
\[ y = 2x - 11 \]
Шаг 4: Построение графика
- График функции: начертите параболу \( y = x^2 - 6x + 5 \).
- Точка \( A(4, -3) \): отметьте на графике данную точку.
- Касательная линия: проведите линию с угловым коэффициентом 2, проходящую через точку \( (4, -3) \) — это будет ваша касательная.
Заключение
Таким образом, мы нашли уравнение касательной к функции \( y = x^2 - 6x + 5 \) в точке \( x = 4 \) и подробно обосновали каждый шаг. Если у вас есть дополнительные вопросы по узким местам, не стесняйтесь спрашивать!
