Для исследования сходимости интегралов определённого типа, нужно проверить поведение функции под интегралом на бесконечности или на концах промежутка интегрирования. Рассмотрим каждый из предложенных интегралов.
### 1. \(\int_{1}^{\infty} \frac{\ln{\frac{x^2 + 5}{x^2 + 2}}}{x} \, dx\)
Раскроем логарифм:
\[
\ln{\frac{x^2 + 5}{x^2 + 2}} = \ln{(x^2 + 5)} - \ln{(x^2 + 2)}
\]
При \(x \to \infty\), каждое из выражений в логарифме стремится к \(\ln{x^2}\), следовательно, разница стремится к постоянному значению:
\[
\ln{\frac{x^2 + 5}{x^2 + 2}} \approx \frac{5 - 2}{x^2} = \frac{3}{x^2}
\]
Подынтегральная функция \(\frac{3}{x^3}\) на \([1, \infty)\). Этот интеграл сходится, используя \(p\)-тест: \(p = 3 > 1\).
### 2. \(\int_{0}^{1} \frac{x^2 + \cos{2x}}{x^3 - x + 1} \, dx\)
Попробуем проверить сходимость вблизи 0. При \(x \approx 0\), имеем:
- Числитель: \(x^2 + \cos{2x} \approx 1\)
- Знаменатель: \(x^3 - x + 1 \approx 1\)
Функция \(\frac{1}{1} = 1\) около 0, интеграл \(\int_{0}^{1} 1 \, dx\) сходится.
### 3. \(\int_{0}^{1} \arcsin{\frac{1}{\sqrt{4x - 1}}} \, dx\)
Исследуем поведение функции при \(x \to \frac{1}{4}\):
- \(\sqrt{4x-1} \to 0\), \(\arcsin{\infty}\) не определён.
Проблема с поведением \(\sqrt{4x-1}\), когда \(4x-1\) подходит к нулю при \(x \to \frac{1}{4}^+\), значит интеграл расходится.
### 4. \(\int_{5}^{\infty} \sqrt[4]{(x-1)(x-2)(x-3)} \, dx\)
Исследуем как ведет себя функция \(x^{3/4}\) при \(x \to \infty\). Интеграл \(\int_{5}^{\infty} x^{3/4} \, dx\) расходится, так как \(p = \frac{3}{4} < 1\).
### Итоги:
- **1-ый интеграл**: Сходится
- **2-ой интеграл**: Сходится
- **3-ий интеграл**: Расходится
- **4-ый интеграл**: Расходится
Рассмотрим каждый из предложенных интегралов и проанализируем их сходимость по шагам. Начнем с разложения функций и исследования пределов.
### 1. \(\int_{1}^{\infty} \frac{\ln{\frac{x^2 + 5}{x^2 + 2}}}{x} \, dx\)
1. **Раскрытие логарифма**:
\[
\ln{\frac{x^2 + 5}{x^2 + 2}} = \ln{(x^2 + 5)} - \ln{(x^2 + 2)}
\]
2. **Анализ при \(x \to \infty\)**:
- Каждое из логарифмических выражений стремится к \(\ln{x^2}\).
- Таким образом, разница:
\[
\ln{\frac{x^2 + 5}{x^2 + 2}} \approx \ln{x^2} - \ln{x^2} = 0.
\]
3. **Приближение для больших \(x\)**:
Используя разложение разности:
\[
\ln{\frac{x^2 + 5}{x^2 + 2}} \approx \ln{(1 + \frac{3}{x^2})} \approx \frac{3}{x^2} \text{ при больших } x.
\]
4. **Подставляем в интеграл**:
Функция становится:
\[
\frac{3}{x^3}.
\]
5. **Проверка сходимости**:
Интеграл \(\int_{1}^{\infty} \frac{3}{x^3} \, dx\) сходится, так как \(p\)-тест: \(p = 3 > 1\).
### Заключение: **Сходится.**
---
### 2. \(\int_{0}^{1} \frac{x^2 + \cos{2x}}{x^3 - x + 1} \, dx\)
1. **Анализ при \(x \to 0\)**:
- Числитель:
\[
x^2 + \cos{2x} \approx 1 \text{ при } x \to 0.
\]
- Знаменатель:
\[
x^3 - x + 1 \approx 1.
\]
2. **Подставляем в интеграл**:
Получим:
\[
\frac{1}{1} = 1.
\]
3. **Проверка сходимости**:
Интеграл \(\int_{0}^{1} 1 \, dx\) сходится.
### Заключение: **Сходится.**
---
### 3. \(\int_{0}^{1} \arcsin{\frac{1}{\sqrt{4x - 1}}} \, dx\)
1. **Анализ поведения при \(x \to \frac{1}{4}\)**:
- При \(x \to \frac{1}{4}\):
\[
\sqrt{4x - 1} \to 0 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{4x - 1}} \to \infty.
\]
Таким образом, \(\arcsin{\infty}\) не определён.
2. **Проверка сходимости**:
Функция ведёт себя как \(\arcsin{(\infty)}\), что приводит к расходимости интеграла.
### Заключение: **Расходится.**
---
### 4. \(\int_{5}^{\infty} \sqrt[4]{(x-1)(x-2)(x-3)} \, dx\)
1. **Анализ для больших \(x\)**:
Для больших \(x\) поведение функции:
\[
\sqrt[4]{(x-1)(x-2)(x-3)} \approx \sqrt[4]{x^3} \sim x^{3/4}.
\]
2. **Проверка сходимости**:
Интеграл \(\int_{5}^{\infty} x^{3/4} \, dx\) расходится, так как \(p\)-тест: \(p = \frac{3}{4} < 1\).
### Заключение: **Расходится.**
---
### Итоги:
- **1-ый интеграл**: Сходится
- **2-ой интеграл**: Сходится
- **3-ий интеграл**: Расходится
- **4-ый интеграл**: Расходится
