Для исследования сходимости интегралов определённого типа, нужно проверить поведение функции под интегралом на бесконечности или на концах промежутка интегрирования. Рассмотрим…
Для исследования сходимости интегралов определённого типа, нужно проверить поведение функции под интегралом на бесконечности или на концах промежутка интегрирования. Рассмотрим каждый из предложенных интегралов. ### 1. \(\int_{1}^{\infty} \frac{\ln{\frac{x^2 + 5}{x^2 + 2}}}{x} \, dx\) Раскроем логарифм: \[ \ln{\frac{x^2 + 5}{x^2 + 2}} = \ln{(x^2 + 5)} - \ln{(x^2 + 2)} \] При \(x \to \infty\), каждое из выражений в логарифме стремится к \(\ln{x^2}\), следовательно, разница стремится к постоянному значению: \[ \ln{\frac{x^2 + 5}{x^2 + 2}} \approx \frac{5 - 2}{x^2} = \frac{3}{x^2} \] Подынтегральная функция \(\frac{3}{x^3}\) на \([1, \infty)\). Этот интеграл сходится, используя \(p\)-тест: \(p = 3 > 1\). ### 2. \(\int_{0}^{1} \frac{x^2 + \cos{2x}}{x^3 - x + 1} \, dx\) Попробуем проверить сходимость вблизи 0. При \(x \approx 0\), имеем: - Числитель: \(x^2 + \cos{2x} \approx 1\) - Знаменатель: \(x^3 - x + 1 \approx 1\) Функция \(\frac{1}{1} = 1\) около 0, интеграл \(\int_{0}^{1} 1 \, dx\) сходится. ### 3. \(\int_{0}^{1} \arcsin{\frac{1}{\sqrt{4x - 1}}} \, dx\) Исследуем поведение функции при \(x \to \frac{1}{4}\): - \(\sqrt{4x-1} \to 0\), \(\arcsin{\infty}\) не определён. Проблема с поведением \(\sqrt{4x-1}\), когда \(4x-1\) подходит к нулю при \(x \to \frac{1}{4}^+\), значит интеграл расходится. ### 4. \(\int_{5}^{\infty} \sqrt[4]{(x-1)(x-2)(x-3)} \, dx\) Исследуем как ведет себя функция \(x^{3/4}\) при \(x \to \infty\). Интеграл \(\int_{5}^{\infty} x^{3/4} \, dx\) расходится, так как \(p = \frac{3}{4} < 1\). ### Итоги: - **1-ый интеграл**: Сходится - **2-ой интеграл**: Сходится - **3-ий интеграл**: Расходится - **4-ый интеграл**: Расходится
Рассмотрим каждый из предложенных интегралов и проанализируем их сходимость по шагам. Начнем с разложения функций и исследования пределов.
1. \(\int_{1}^{\infty} \frac{\ln{\frac{x^2 + 5}{x^2 + 2}}}{x} \, dx\)
Раскрытие логарифма: \[ \ln{\frac{x^2 + 5}{x^2 + 2}} = \ln{(x^2 + 5)} - \ln{(x^2 + 2)} \]
Анализ при \(x \to \infty\):
- Каждое из логарифмических выражений стремится к \(\ln{x^2}\).
- Таким образом, разница: \[ \ln{\frac{x^2 + 5}{x^2 + 2}} \approx \ln{x^2} - \ln{x^2} = 0. \]
Приближение для больших \(x\): Используя разложение разности: \[ \ln{\frac{x^2 + 5}{x^2 + 2}} \approx \ln{(1 + \frac{3}{x^2})} \approx \frac{3}{x^2} \text{ при больших } x. \]
Подставляем в интеграл: Функция становится: \[ \frac{3}{x^3}. \]
Проверка сходимости: Интеграл \(\int_{1}^{\infty} \frac{3}{x^3} \, dx\) сходится, так как \(p\)-тест: \(p = 3 > 1\).
Заключение: Сходится.
2. \(\int_{0}^{1} \frac{x^2 + \cos{2x}}{x^3 - x + 1} \, dx\)
Анализ при \(x \to 0\):
- Числитель: \[ x^2 + \cos{2x} \approx 1 \text{ при } x \to 0. \]
- Знаменатель: \[ x^3 - x + 1 \approx 1. \]
Подставляем в интеграл: Получим: \[ \frac{1}{1} = 1. \]
Проверка сходимости: Интеграл \(\int_{0}^{1} 1 \, dx\) сходится.
Заключение: Сходится.
3. \(\int_{0}^{1} \arcsin{\frac{1}{\sqrt{4x - 1}}} \, dx\)
Анализ поведения при \(x \to \frac{1}{4}\):
- При \(x \to \frac{1}{4}\): \[ \sqrt{4x - 1} \to 0 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{4x - 1}} \to \infty. \] Таким образом, \(\arcsin{\infty}\) не определён.
Проверка сходимости: Функция ведёт себя как \(\arcsin{(\infty)}\), что приводит к расходимости интеграла.
Заключение: Расходится.
4. \(\int_{5}^{\infty} \sqrt[4]{(x-1)(x-2)(x-3)} \, dx\)
Анализ для больших \(x\): Для больших \(x\) поведение функции: \[ \sqrt[4]{(x-1)(x-2)(x-3)} \approx \sqrt[4]{x^3} \sim x^{3/4}. \]
Проверка сходимости: Интеграл \(\int_{5}^{\infty} x^{3/4} \, dx\) расходится, так как \(p\)-тест: \(p = \frac{3}{4} < 1\).
Заключение: Расходится.
Итоги:
- 1-ый интеграл: Сходится
- 2-ой интеграл: Сходится
- 3-ий интеграл: Расходится
- 4-ый интеграл: Расходится
