определи

Для каждого из приведенных интегралов необходимо определить, являются ли они собственными или несобственными.

Определения

1. Собственный интеграл — интеграл, у которого и подынтегральная функция непрерывна на всём интервале интегрирования, и сами границы являются конечными.
2. Несобственный интеграл — интеграл, но хотя бы одно из условий собственных интегралов нарушается: либо функция имеет разрывы, либо одна из границ бесконечна.

Анализ интегралов

1. \(\int_{2}^{5} \frac{dx}{(x-1)x^2}\)

   • Подынтегральная функция \(\frac{1}{(x-1)x^2}\) не имеет разрывов на интервале \([2, 5]\).
   • Пределы интегрирования конечные.
   • Вывод: Собственный интеграл.

2. \(\int_{0}^{5} \frac{dx}{(x-1)x^2}\)

   • На интервале интегрирования \([0, 5]\), подынтегральная функция \(\frac{1}{(x-1)x^2}\) имеет вертикальную асимптоту при \(x = 0\).
   • Вывод: Несобственный интеграл.

3. \(\int_{-2}^{5} \tg x \, dx\)

   • Функция \(\tg x\) имеет разрывы в точках \(\frac{\pi}{2} + k\pi\), где k — целое число. На заданном интервале \([-2, 5]\), точка \(x = \frac{\pi}{2}\) попадает в промежуток.
   • Вывод: Несобственный интеграл.

4. \(\int_{0}^{5} \frac{dx}{\ln(x+2)}\)

   • Функция \(\ln(x+2)\) определена и непрерывна на всём интервале \([0, 5]\), так как \(\ln(x+2)\) > 0.
   • Пределы интегрирования конечные.
   • Вывод: Собственный интеграл.

Итог

• Собственные интегралы: 1 и 4.
• Несобственные интегралы: 2 и 3.