Найдите самостоятельно полный дифференциал функции z = x cos y + y sin x в точке М(π; π/2), отвечающий приращениям аргументов dx = - 1/π и dy = 1/(3π). В ответ введите вычисленное…

Для нахождения полного дифференциала функции \( z = x \cos y + y \sin x \) в заданной точке \( M(\pi, \frac{\pi}{2}) \) и с заданными приращениями \( dx = -\frac{1}{\pi} \) и \( dy = \frac{1}{3\pi} \), следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем частные производные функции \( z \)

1. Частная производная \( \frac{\partial z}{\partial x} \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \cos y + y \cos x \]

2. Частная производная \( \frac{\partial z}{\partial y} \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -x \sin y + \sin x \]

Шаг 2: Подставим координаты точки \( M(\pi, \frac{\pi}{2}) \)

Теперь подставим значения \( x = \pi \) и \( y = \frac{\pi}{2} \) в частные производные:

1. Для \( \frac{\partial z}{\partial x} \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{M} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2} \cos(\pi) \] \[ = 0 + \frac{\pi}{2} \cdot (-1) = -\frac{\pi}{2} \]

2. Для \( \frac{\partial z}{\partial y} \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{M} = -\pi \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin(\pi) \] \[ = -\pi \cdot 1 + 0 = -\pi \]

Шаг 3: Запишем полный дифференциал функции \( z \)

Полный дифференциал \( dz \) можно выразить следующим образом: \[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} \, dx + \frac{\partial z}{\partial y} \, dy \]

Теперь подставим найденные частные производные и значения \( dx \) и \( dy \): \[ dz = \left(-\frac{\pi}{2}\right) \left(-\frac{1}{\pi}\right) + (-\pi) \left(\frac{1}{3\pi}\right) \] \[ dz = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \]

Шаг 4: Вычислим \( dz \)

Для выполнения вычитания дробей приводим к общему знаменателю: \[ dz = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \]

Шаг 5: Запишем ответ с пятью знаками после запятой

Таким образом, полный дифференциал функции в заданной точке с указанными приращениями равен: \[ \boxed{0.16667} \]