Реши

Давайте разберёмся, как найти полное дифференциал для функции трёх переменных \( u = xy^2z \) в заданной точке. 1. **Вычисляем частные производные:** - Частная производная по \( x \): \[ \frac{\partial u}{\partial x} = y^2z \] - Частная производная по \( y \): \[ \frac{\partial u}{\partial y} = 2xyz \] - Частная производная по \( z \): \[ \frac{\partial u}{\partial z} = xy^2 \] 2. **Формула полного дифференциала:** Полный дифференциал \( du \) вычисляется по формуле: \[ du = \frac{\partial u}{\partial x} \, dx + \frac{\partial u}{\partial y} \, dy + \frac{\partial u}{\partial z} \, dz \] 3. **Подставляем значения:** Заданная точка \( M(e; e; 0) \) означает: \( x = e \), \( y = e \), \( z = 0 \). - Подставим в частные производные: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = e^2 \cdot 0 = 0 \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} = 2e \cdot e \cdot 0 = 0 \] \[ \frac{\partial u}{\partial z} = e \cdot e^2 = e^3 \] 4. **Подставляем значения \( dx = 0.2 \), \( dy = -0.4 \), \( dz = 0.01 \):** \[ du = (0) \cdot 0.2 + (0) \cdot (-0.4) + e^3 \cdot 0.01 \] \[ du = e^3 \cdot 0.01 \] 5. **Вычисляем численное значение:** Значение числа \( e \) примерно равно 2.71828. Поэтому: \[ e^3 \approx 2.71828^3 \approx 20.08554 \] Умножаем на 0.01: \[ du = 20.08554 \cdot 0.01 = 0.2008554 \] 6. **Окончательный ответ:** Ответ с пятью знаками после запятой: \( 0.20086 \).