реши
Давайте разберёмся, как найти полное дифференциал для функции трёх переменных \( u = xy^2z \) в заданной точке.
Вычисляем частные производные:
Частная производная по \( x \): \[ \frac{\partial u}{\partial x} = y^2z \]
Частная производная по \( y \): \[ \frac{\partial u}{\partial y} = 2xyz \]
Частная производная по \( z \): \[ \frac{\partial u}{\partial z} = xy^2 \]
Формула полного дифференциала:
Полный дифференциал \( du \) вычисляется по формуле: \[ du = \frac{\partial u}{\partial x} \, dx + \frac{\partial u}{\partial y} \, dy + \frac{\partial u}{\partial z} \, dz \]
Подставляем значения:
Заданная точка \( M(e; e; 0) \) означает: \( x = e \), \( y = e \), \( z = 0 \).
- Подставим в частные производные: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = e^2 \cdot 0 = 0 \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} = 2e \cdot e \cdot 0 = 0 \] \[ \frac{\partial u}{\partial z} = e \cdot e^2 = e^3 \]
Подставляем значения \( dx = 0.2 \), \( dy = -0.4 \), \( dz = 0.01 \):
\[ du = (0) \cdot 0.2 + (0) \cdot (-0.4) + e^3 \cdot 0.01 \]
\[ du = e^3 \cdot 0.01 \]
Вычисляем численное значение:
Значение числа \( e \) примерно равно 2.71828. Поэтому: \[ e^3 \approx 2.71828^3 \approx 20.08554 \]
Умножаем на 0.01: \[ du = 20.08554 \cdot 0.01 = 0.2008554 \]
Окончательный ответ:
Ответ с пятью знаками после запятой: \( 0.20086 \).
