При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель…

Для решения задачи определим вероятность того, что цель не будет уничтожена за \( n \) выстрелов.

• Вероятность уничтожения цели при первом выстреле: \( P_1 = 0.4 \).
• Вероятность того, что цель не будет уничтожена при первом выстреле: \( Q_1 = 1 - P_1 = 0.6 \).
• Вероятность уничтожения цели при каждом следующем выстреле: \( P_k = 0.6 \) (где \( k \geq 2 \)).
• Вероятность того, что цель не будет уничтожена при последовательных выстрелах начиная со второго: каждая попытка срабатывает с вероятностью \( 0.6 \).

Поэтому вероятность того, что цель не будет уничтожена после \( n \) выстрелов можно выразить так:

\[ P(\text{не уничтожена}) = Q_1 \cdot (1 - P_2)^{(n-1)} = 0.6 \cdot (0.4)^{(n-1)}. \]

Таким образом, вероятность уничтожения цели за \( n \) выстрелов:

\[ P(\text{уничтожена}) = 1 - P(\text{не уничтожена}) = 1 - 0.6 \cdot (0.4)^{(n-1)}. \]

Теперь нам нужно найти наименьшее \( n \), такое что

\[ P(\text{уничтожена}) \geq 0.98. \]

Это равносильно:

\[ 1 - 0.6 \cdot (0.4)^{(n-1)} \geq 0.98, \]

что можно записать как:

\[ 0.6 \cdot (0.4)^{(n-1)} \leq 0.02. \]

Делим обе стороны на \( 0.6 \):

\[ (0.4)^{(n-1)} \leq \frac{0.02}{0.6} \approx 0.03333. \]

Теперь применяем логарифмы:

\[ n - 1 \geq \frac{\log(0.03333)}{\log(0.4)}. \]

Сначала найдем \( \log(0.03333) \) и \( \log(0.4) \):

\[ \log(0.03333) \approx -1.477, \] \[ \log(0.4) \approx -0.398. \]

Теперь подставляем:

\[ n - 1 \geq \frac{-1.477}{-0.398} \approx 3.71. \]

Значит,

\[ n \geq 4.71. \]

Поскольку \( n \) должно быть целым числом, то наименьшее \( n \) — это 5.

Таким образом, для достижения вероятности уничтожения цели не менее 0.98 необходимо как минимум 5 выстрелов.

Ответ: 5.