Для решения задачи определим вероятность того, что цель не будет уничтожена за ( n ) выстрелов.
- Вероятность уничтожения цели при первом выстреле: ( P_1 = 0.4 ).
- Вероятность того, что цель не будет уничтожена при первом выстреле: ( Q_1 = 1 - P_1 = 0.6 ).
- Вероятность уничтожения цели при каждом следующем выстреле: ( P_k = 0.6 ) (где ( k \geq 2 )).
- Вероятность того, что цель не будет уничтожена при последовательных выстрелах начиная со второго: каждая попытка срабатывает с вероятностью ( 0.6 ).
Поэтому вероятность того, что цель не будет уничтожена после ( n ) выстрелов можно выразить так:
[
P(\text{не уничтожена}) = Q_1 \cdot (1 - P_2)^{(n-1)} = 0.6 \cdot (0.4)^{(n-1)}.
]
Таким образом, вероятность уничтожения цели за ( n ) выстрелов:
[
P(\text{уничтожена}) = 1 - P(\text{не уничтожена}) = 1 - 0.6 \cdot (0.4)^{(n-1)}.
]
Теперь нам нужно найти наименьшее ( n ), такое что
[
P(\text{уничтожена}) \geq 0.98.
]
Это равносильно:
[
1 - 0.6 \cdot (0.4)^{(n-1)} \geq 0.98,
]
что можно записать как:
[
0.6 \cdot (0.4)^{(n-1)} \leq 0.02.
]
Делим обе стороны на ( 0.6 ):
[
(0.4)^{(n-1)} \leq \frac{0.02}{0.6} \approx 0.03333.
]
Теперь применяем логарифмы:
[
n - 1 \geq \frac{\log(0.03333)}{\log(0.4)}.
]
Сначала найдем ( \log(0.03333) ) и ( \log(0.4) ):
[
\log(0.03333) \approx -1.477,
]
[
\log(0.4) \approx -0.398.
]
Теперь подставляем:
[
n - 1 \geq \frac{-1.477}{-0.398} \approx 3.71.
]
Значит,
[
n \geq 4.71.
]
Поскольку ( n ) должно быть целым числом, то наименьшее ( n ) — это 5.
Таким образом, для достижения вероятности уничтожения цели не менее 0.98 необходимо как минимум 5 выстрелов.
Ответ: 5.
