Неравенство задано формулой ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ⋯ ( x − x n ) > 0 (x−x 1 ​ )(x−x 2 ​ ) ⋯ ​ (x−x n ​ )>0 . Что такое x x ?

Неравенство, заданное в форме

\[ (x - x_1)(x - x_2) \cdots (x - x_n) > 0 \]

представляет собой произведение нескольких линейных множителей. Давайте разберем это более детально.

Шаг 1: Определение значений

В данной формуле \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) — это корни (или нули) данного многочлена. То есть, значения \( x \), при которых произведение равно нулю, это именно эти \( x_i \).

Шаг 2: Действия с неравенством

Для того чтобы решить это неравенство, необходимо определить, на каких интервалах \( x \) показатель неравенства положителен (больше нуля).

1. Найдем корни: Запишите все значения \( x_i \), при которых \( (x - x_i) = 0 \). Эти значения делят числовую прямую на интервалы.

2. Определим интервалы: Эти корни разделяют числовую прямую на несколько интервалов:

   • \( (-\infty, x_1) \)
   • \( (x_1, x_2) \)
   • \( (x_2, x_3) \)
   • ...
   • \( (x_{n-1}, x_n) \)
   • \( (x_n, +\infty) \)

Шаг 3: Выбор тестовых значений

Для каждого интервала можно выбрать тестовое значение \( x \) и подставить его в неравенство:

• Если значение \( x \) находится в интервале, где все множители имеют одинаковую четность (все положительные или все отрицательные), то произведение положительное.
• Если таковые находятся в интервале, где количество отрицательных множителей четное (например, два, четыре и т.д.), то произведение остается положительным.

Шаг 4: Итоговое решение

Соберите все интервалы, на которых произведение положительно и запишите решение в виде:

\[ x \in \text{(интервалы, на которых неравенство выполняется)} \]

Пример

Представьте, что \( n = 3 \) и корни \( x_1 = 1; x_2 = 2; x_3 = 3 \). Тогда решение неравенства будет:

• Интервалы: \( (-\infty, 1) \), \( (1, 2) \), \( (2, 3) \), \( (3, +\infty) \)
• Подбираем тестовые значения:
  • Для интервала \( (-\infty, 1) \): возьмем \( x = 0 \) \(\Rightarrow (-1)(-2)(-3) < 0\) (не выполняется)
  • Для интервала \( (1, 2) \): \( x = 1.5 \Rightarrow (0.5)(-0.5)(-1.5) > 0\) (выполняется)
  • Для интервала \( (2, 3) \): \( x = 2.5 \Rightarrow (1.5)(0.5)(-0.5) < 0\) (не выполняется)
  • Для интервала \( (3, +\infty) \): \( x = 4 \Rightarrow (3)(2)(1) > 0\) (выполняется)

Таким образом, решение:

\[ x \in (1, 2) \cup (3, +\infty) \]

Это и есть искомое значение \( x \) в неравенстве.