Реши

Давайте решим задачу пошагово.

Условие

Функция задана как \( y = \left| x^2 + 4x - 3 \right| \). Нужно найти такие значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) пересекает график этой функции ровно в трёх точках.

Построение функции

1. Раскроем модуль:

   • Функция \( y = |f(x)| \), где \( f(x) = x^2 + 4x - 3 \). Сначала разберем \( f(x) \).

2. Найдём нули функции \( f(x) = x^2 + 4x - 3 \):

   • Решим квадратное уравнение \( x^2 + 4x - 3 = 0 \).
   • \( a = 1, b = 4, c = -3 \).
   • Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 16 + 12 = 28 \).
   • Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -2 \pm \sqrt{7} \]

3. Параболы между нулями:

   • На отрезке \((- \infty, -2 - \sqrt{7}) \cup (-2 + \sqrt{7}, \infty)\), \( f(x) > 0 \).
   • На отрезке \((-2 - \sqrt{7}, -2 + \sqrt{7})\), \( f(x) < 0 \).

4. Строим график \( y = |f(x)| \):

   • Для областей, где \( f(x) > 0 \), график остаётся тем же.
   • Для областей, где \( f(x) < 0 \), график отражается относительно оси \( x \).

Определение \( m \)

1. Ищем \( m \):

   • Нам нужно, чтобы прямая \( y = m \) пересекала график ровно в трёх точках. Это возможно, если прямая проходит через вершину отражённого графика.

2. Найдем вершину параболы:

   • Вершина параболы \( x^2 + 4x - 3 = 0 \) находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} = -2 \).
   • Значение функции в вершине: \[ y = \left| (-2)^2 + 4(-2) - 3 \right| = \left| 4 - 8 - 3 \right| = \left| -7 \right| = 7 \]

Ответ

Таким образом, \( m = 7 \). Прямая \( y = 7 \) проходит через вершину и одну из вышеописанных точек, создавая три точки пересечения.

Найденное значение \( m \) равно 7.