3. Диагонали верхнего и нижнего оснований куба ABCDA1B1C1D1 пересекаются соответственно в точ¬ках О и О1. Найдите величину двугранного угла с ребром ОО1, в гранях которого лежат ребра АА1, и ВВ1.
Для решения задачи о двугранном угле с ребром \( OO_1 \) в гранях, содержащих ребра \( AA_1 \) и \( BB_1 \), давайте пошагово разберем все необходимые моменты.
### Шаг 1: Определение куба и точек
Рассмотрим куб, у которого:
- Вершины:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(1, 0, 0) \)
- \( C(1, 1, 0) \)
- \( D(0, 1, 0) \)
- \( A_1(0, 0, 1) \)
- \( B_1(1, 0, 1) \)
- \( C_1(1, 1, 1) \)
- \( D_1(0, 1, 1) \)
### Шаг 2: Определение точек пересечения диагоналей
- Диагональ верхнего основания \( ABCD \) пересекается в точке \( O \). Центр этого квадрата (основания) будет:
\[
O\left(\frac{0 + 1 + 1 + 0}{4}, \frac{0 + 0 + 1 + 1}{4}, 0\right) = O\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)
\]
- Диагональ нижнего основания \( A_1B_1C_1D_1 \) пересекается в точке \( O_1 \). Аналогично:
\[
O_1\left(\frac{0 + 1 + 1 + 0}{4}, \frac{0 + 0 + 1 + 1}{4}, 1\right) = O_1\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)
\]
### Шаг 3: Определение векторов
Теперь найдем векторы \( OO_1 \), \( AA_1 \) и \( BB_1 \):
1. **Вектор \( OO_1 \)**:
\[
OO_1 = O_1 - O = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right) - \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) = (0, 0, 1)
\]
2. **Вектор \( AA_1 \)**:
\[
AA_1 = A_1 - A = (0, 0, 1) - (0, 0, 0) = (0, 0, 1)
\]
3. **Вектор \( BB_1 \)**:
\[
BB_1 = B_1 - B = (1, 0, 1) - (1, 0, 0) = (0, 0, 1)
\]
### Шаг 4: Нахождение уголка
Двугранный угол, который нас интересует, образован плоскостями \( AAB \) и \( BBA_1 \). Эти плоскости совпадают, поэтому угол между векторами не является двугранным углом, а равен \( 0° \).
### Шаг 5: Ответ
Поскольку векторы \( OO_1 \), \( AA_1 \), и \( BB_1 \) являются параллельными, величина двугранного угла составляет:
\[
\text{Угол между гранями } = 0^\circ.
\]
Таким образом, при углу в 0° мы можем делать вывод получив среднее значение связанных векторов, дойдя до заключительного ответа.
### Ответ
Величина двугранного угла между заданными гранями равна \( 0^\circ \).
