За круглый стол на 6 стульев в случайном порядке рассаживаются 4 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик.
Давайте решим задачу о вероятности того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик.
Шаг 1: Определение общего числа рассадок
Когда у нас есть круглый стол, размещение людей требует учитывать симметрию, поскольку поворот стола не изменяет положение людей относительно друг друга. Поэтому количество способов разместить \( n \) человек за круглым столом равно \( (n-1)! \).
В нашем случае собирается 6 человек (4 мальчика и 2 девочки).
Общее количество способов разместить 6 человек за круглым столом будет: \[ (6-1)! = 5! = 120 \]
Шаг 2: Определение благоприятных исходов
Теперь необходимо найти количество способов рассадить так, чтобы между двумя девочками сидел один мальчик.
Фиксация девочек: Расположим двух девочек. Поскольку мы используем круглый стол, мы можем зафиксировать одну девочку и разместить другую относительно неё. Таким образом, вокруг первой девочки останется 5 свободных мест, где можно разместить вторую девочку. Поскольку девочки могут меняться местами, их местоположение создаёт 1 способ.
Расположение мальчиков: Теперь между девочками должен быть 1 мальчик, что оставляет нам 3 других мальчика для размещения. После размещения девочек и одного мальчика у нас:
- 1 девочка (А)
- 1 мальчик (Б) (между ними)
- 1 девочка (В)
- Остальные 3 мальчика могут занимать 3 из оставшихся 3 мест, которые будут оставлены.
Число способов расположения:
- Мы можем выбрать 1 мальчика для размещения между девочками, что можно сделать 4 способами (любой из 4 мальчиков).
- Оставшиеся 3 мальчика могут занять 3 свободных места, что можно сделать за \( 3! \) способов.
Итак, благоприятные исходы можно вычислить так: \[ 4 \text{ (выбор мальчика)} \times 3! \text{ (расположение остальных мальчиков)} = 4 \times 6 = 24 \]
Шаг 3: Вычисление вероятности
Теперь мы можем определить вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик. \[ P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5} \]
Итог
Вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик, равна \( \frac{1}{5} \).
