За круглый стол на 6 стульев в случайном порядке рассаживаются 4 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик.

Давайте решим задачу о вероятности того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик. ### Шаг 1: Определение общего числа рассадок Когда у нас есть круглый стол, размещение людей требует учитывать симметрию, поскольку поворот стола не изменяет положение людей относительно друг друга. Поэтому количество способов разместить \( n \) человек за круглым столом равно \( (n-1)! \). В нашем случае собирается 6 человек (4 мальчика и 2 девочки). Общее количество способов разместить 6 человек за круглым столом будет: \[ (6-1)! = 5! = 120 \] ### Шаг 2: Определение благоприятных исходов Теперь необходимо найти количество способов рассадить так, чтобы между двумя девочками сидел один мальчик. 1. **Фиксация девочек:** Расположим двух девочек. Поскольку мы используем круглый стол, мы можем зафиксировать одну девочку и разместить другую относительно неё. Таким образом, вокруг первой девочки останется 5 свободных мест, где можно разместить вторую девочку. Поскольку девочки могут меняться местами, их местоположение создаёт 1 способ. 2. **Расположение мальчиков:** Теперь между девочками должен быть 1 мальчик, что оставляет нам 3 других мальчика для размещения. После размещения девочек и одного мальчика у нас: - 1 девочка (А) - 1 мальчик (Б) (между ними) - 1 девочка (В) - Остальные 3 мальчика могут занимать 3 из оставшихся 3 мест, которые будут оставлены. 3. **Число способов расположения:** - Мы можем выбрать 1 мальчика для размещения между девочками, что можно сделать 4 способами (любой из 4 мальчиков). - Оставшиеся 3 мальчика могут занять 3 свободных места, что можно сделать за \( 3! \) способов. Итак, благоприятные исходы можно вычислить так: \[ 4 \text{ (выбор мальчика)} \times 3! \text{ (расположение остальных мальчиков)} = 4 \times 6 = 24 \] ### Шаг 3: Вычисление вероятности Теперь мы можем определить вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик. \[ P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5} \] ### Итог Вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик, равна \( \frac{1}{5} \).