Участников школьной олимпиады 68 чел., и из них необходимо выбрать 2 для участия в городском этапе. Сколькими способами это можно сделать?

Для решения этой задачи мы будем использовать комбинации, поскольку мы выбираем 2 участников из 68, и при этом порядок выбора не важен.

Комбинации обозначаются как \( C(n, k) \), где \( n \) — общее количество элементов (в нашем случае количество участников), а \( k \) — количество элементов, которые мы выбираем. Формула для вычисления количества комбинаций выглядит следующим образом:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Где \( n! \) (факториал \( n \)) — это произведение всех целых чисел от 1 до \( n \).

В нашем примере:

• \( n = 68 \) (всего участников),
• \( k = 2 \) (количество выбираемых участников).

Подставим наши значения в формулу:

\[ C(68, 2) = \frac{68!}{2!(68-2)!} = \frac{68!}{2! \cdot 66!} \]

Теперь мы заметим, что \( 68! \) можно разложить:

\[ C(68, 2) = \frac{68 \times 67 \times 66!}{2! \cdot 66!} \]

Здесь \( 66! \) сокращается:

\[ C(68, 2) = \frac{68 \times 67}{2!} \]

Теперь подставим значение \( 2! \):

\[ 2! = 2 \times 1 = 2 \]

Таким образом, продолжаем вычисление:

\[ C(68, 2) = \frac{68 \times 67}{2} = \frac{4556}{2} = 2278 \]

Следовательно, количество способов выбрать 2 участника из 68 равняется 2278.

Ответ: 2278 способов.