Чтобы решить эту задачу, нужно использовать понятие биномиального распределения, так как мы имеем дело с независимыми испытаниями (бросками кубика), из которых нужно найти вероятность определенного количества удачных исходов.
Шаг 1: Определим параметры
- Обозначим ( n ) — общее количество бросков кубика. В нашем случае ( n = 5 ).
- Обозначим ( k ) — количество удачных бросков, которые мы хотим получить. Здесь ( k = 3 ).
- Обозначим ( p ) — вероятность успешного броска (выпадение 5 или 6). На кубике 6 граней, и две из них являются удачными (5 и 6). Следовательно, ( p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} ).
- Вероятность неудачного броска ( q = 1 - p = \frac{2}{3} ).
Шаг 2: Используем формулу биномиального распределения
Формула для вычисления вероятности ( P(X = k) ) в биномиальном распределении выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который считается по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Шаг 3: Подставим значения в формулу
Сначала вычислим биномиальный коэффициент ( C(5, 3) ):
[
C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10
]
Теперь подставим все в формулу для вероятности:
[
P(X = 3) = C(5, 3) \cdot p^3 \cdot q^{5-3}
]
[
= 10 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2}
]
Теперь вычислим каждую часть:
- ( \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27} )
- ( \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{4}{9} )
Теперь подставляем:
[
P(X = 3) = 10 \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{4}{9}
]
Это можно упростить:
[
P(X = 3) = 10 \cdot \frac{4}{243} = \frac{40}{243}
]
Шаг 4: Преобразуем в десятичную дробь и округляем
Теперь нам нужно вычислить ( \frac{40}{243} ) в десятичной форме:
[
\frac{40}{243} \approx 0.164609
]
Округляем до двух знаков после запятой:
[
P(X = 3) \approx 0.16
]
Ответ: Вероятность того, что ровно 3 броска из 5 будут удачными, равна приближительно 0.16.
