Бросок кубика считается удачным, если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 3 броска из 5 будут удачными? Ответ запишите в виде десятичной дроби, округлив до…

Чтобы решить эту задачу, нужно использовать понятие биномиального распределения, так как мы имеем дело с независимыми испытаниями (бросками кубика), из которых нужно найти вероятность определенного количества удачных исходов.

Шаг 1: Определим параметры

• Обозначим \( n \) — общее количество бросков кубика. В нашем случае \( n = 5 \).
• Обозначим \( k \) — количество удачных бросков, которые мы хотим получить. Здесь \( k = 3 \).
• Обозначим \( p \) — вероятность успешного броска (выпадение 5 или 6). На кубике 6 граней, и две из них являются удачными (5 и 6). Следовательно, \( p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
• Вероятность неудачного броска \( q = 1 - p = \frac{2}{3} \).

Шаг 2: Используем формулу биномиального распределения
Формула для вычисления вероятности \( P(X = k) \) в биномиальном распределении выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который считается по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Шаг 3: Подставим значения в формулу
Сначала вычислим биномиальный коэффициент \( C(5, 3) \):

\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

Теперь подставим все в формулу для вероятности:

\[ P(X = 3) = C(5, 3) \cdot p^3 \cdot q^{5-3} \]

\[ = 10 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2} \]

Теперь вычислим каждую часть:

• \( \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27} \)
• \( \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{4}{9} \)

Теперь подставляем:

\[ P(X = 3) = 10 \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{4}{9} \]

Это можно упростить:

\[ P(X = 3) = 10 \cdot \frac{4}{243} = \frac{40}{243} \]

Шаг 4: Преобразуем в десятичную дробь и округляем
Теперь нам нужно вычислить \( \frac{40}{243} \) в десятичной форме:

\[ \frac{40}{243} \approx 0.164609 \]

Округляем до двух знаков после запятой:

\[ P(X = 3) \approx 0.16 \]

Ответ: Вероятность того, что ровно 3 броска из 5 будут удачными, равна приближительно 0.16.