5х-2/х+2=6х-21/х-3 решить с помощью дру

Чтобы решить уравнение \(\frac{5x - 2}{x + 2} = \frac{6x - 21}{x - 3}\), будем действовать поэтапно. Для начала, давайте упростим и решим это уравнение.

Шаг 1: Упрощение уравнения

Запишем уравнение еще раз: \[ \frac{5x - 2}{x + 2} = \frac{6x - 21}{x - 3} \]

Шаг 2: Умножение обеих частей на произведение знаменателей

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны на \((x + 2)(x - 3)\): \[ (5x - 2)(x - 3) = (6x - 21)(x + 2) \]

Шаг 3: Раскрытие скобок

Теперь раскроем скобки и упростим каждую сторону: \[ 5x^2 - 15x - 2x + 6 = 6x^2 + 12x - 21x - 42 \] Соберем подобные члены: \[ 5x^2 - 17x + 6 = 6x^2 - 9x - 42 \]

Шаг 4: Перенос всех членов в одну сторону

Теперь перенесем всё в одну сторону уравнения: \[ 5x^2 - 17x + 6 - 6x^2 + 9x + 42 = 0 \] Объединим все члены: \[ -x^2 - 8x + 48 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 + 8x - 48 = 0 \quad \text{(умножим на -1)} \]

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Теперь у нас квадратное уравнение \(x^2 + 8x - 48 = 0\). Мы можем применить формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256 \]

Шаг 6: Находим корни уравнения

Корни уравнения находятся по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ x = \frac{-8 \pm 16}{2} = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{или} \quad \frac{-24}{2} = -12 \]

Шаг 7: Проверка корней в исходном уравнении

Теперь нам нужно убедиться, что оба найденных корня не приводят к делению на ноль в исходном уравнении.

• Для \(x = 4\):

  • \(x + 2 = 6\) (не равно нулю)
  • \(x - 3 = 1\) (не равно нулю)

• Для \(x = -12\):

  • \(x + 2 = -10\) (не равно нулю)
  • \(x - 3 = -15\) (не равно нулю)

Ответ

Оба корня допустимы. Таким образом, решения уравнения: \[ x = 4 \quad \text{и} \quad x = -12 \]