Определи при каких значениях b прямая, заданная формулой y=b, и график функции y=-x•x+5x+5[x-2]будут иметь ровно три общие точки

Чтобы решить задачу, сначала перепишем уравнение графика функции \( y = -x^2 + 5x + 5[x - 2] \).

Здесь выражение включает в себя целую часть \( [x-2] \). Для различных целых значений \( x \) целая часть будет принимать разные значения:

• Для \( 2 \leq x < 3 \): \( [x - 2] = 0 \)
• Для \( 3 \leq x < 4 \): \( [x - 2] = 1 \)
• Для \( 4 \leq x < 5 \): \( [x - 2] = 2 \)

Рассмотрим каждый случай.

1. Для \( 2 \leq x < 3 \):

Анализируем функцию: \[ y = -x^2 + 5x + 5 \cdot 0 = -x^2 + 5x \]

Запишем уравнение, равное y: \[ b = -x^2 + 5x \] Перепишем уравнение: \[ -x^2 + 5x - b = 0 \]

Для функции, чтобы иметь ровно три общие точки с прямой, необходимо чтобы в одном из интервалов (например, \( 2 \leq x < 3 \) или других) уравнение имело два решения, а в остальных — по одному.

Дискриминант этого уравнения: \[ D = (5)^2 - 4(-1)(-b) = 25 - 4b \] Чтобы уравнение имело два различных решения, необходимо: \[ D > 0 \implies 25 - 4b > 0 \implies 25 > 4b \implies b < \frac{25}{4} = 6.25 \]

2. Для \( 3 \leq x < 4 \):

Теперь анализируем: \[ y = -x^2 + 5x + 5 \cdot 1 = -x^2 + 5x + 5 \]

Запишем уравнение: \[ b = -x^2 + 5x + 5 \] Перепишем: \[ -x^2 + 5x + (5 - b) = 0 \] Дискриминант: \[ D = (5)^2 - 4(-1)(5 - b) = 25 + 4(5 - b) = 25 + 20 - 4b = 45 - 4b \] Для этого уравнения, чтобы иметь одно решение, дискриминант должен быть равен нулю: \[ 45 - 4b = 0 \implies 4b = 45 \implies b = \frac{45}{4} = 11.25 \]

3. Для \( 4 \leq x < 5 \):

Теперь анализируем: \[ y = -x^2 + 5x + 5 \cdot 2 = -x^2 + 5x + 10 \]

Записываем: \[ b = -x^2 + 5x + 10 \]

Уравнение можно записать как: \[ -x^2 + 5x + (10 - b) = 0 \] Дискриминант: \[ D = (5)^2 - 4(-1)(10 - b) = 25 + 4(10 - b) = 25 + 40 - 4b = 65 - 4b \] Для этого уравнения, чтобы иметь одно решение: \[ 65 - 4b = 0 \implies 4b = 65 \implies b = \frac{65}{4} = 16.25 \]

Общий вывод

Чтобы прямая \( y = b \) пересекала параболу с одним и тем же значением в разных интервалах, необходимо обеспечить:

1. В первом интервале (2 ≤ x < 3), чтобы \( b < 6.25 \).
2. Во втором интервале (3 ≤ x < 4), чтобы \( b = 11.25 \).
3. В третьем интервале (4 ≤ x < 5), чтобы \( b = 16.25 \).

Значит, прямая \( y = b \) будет иметь ровно три общие точки с графиком функции, если: \[ b = 11.25 \quad (для \; 3 \leq x < 4) \]

Таким образом, для заданных условий, прямая имеет ровно три общие точки при \( b = 11.25 \).