2. Решите уравнение (x ^ 2 - 5x - 2) ^ 2 + 4x ^ 2 - 20x - 40 = 0

Чтобы решить уравнение \((x^2 - 5x - 2)^2 + 4x^2 - 20x - 40 = 0\), будем действовать шаг за шагом.

Шаг 1: Введение в уравнение

У нас есть квадрат выражения \((x^2 - 5x - 2)\) и многочлен \(4x^2 - 20x - 40\). Начнем с упрощения уравнения.

Шаг 2: Подстановка

Обозначим \(y = x^2 - 5x - 2\). Тогда уравнение можно переписать как:

\[ y^2 + 4x^2 - 20x - 40 = 0. \]

Шаг 3: Упростим второе выражение

Теперь выразим \(4x^2 - 20x - 40\):

\[ 4x^2 - 20x - 40 = 4(x^2 - 5x - 10). \]

Таким образом, уравнение становится:

\[ y^2 + 4(x^2 - 5x - 10) = 0. \]

Шаг 4: Заменим \(y\)

Подставим значение \(y\):

\[ y^2 + 4y - 40 = 0, \]

где \(y = x^2 - 5x - 2\).

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

Теперь решим уравнение \(y^2 + 4y - 40 = 0\) с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \(a = 1\), \(b = 4\) и \(c = -40\):

\[ y = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 160}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{176}}{2}. \]

Шаг 6: Упрощение корня

Корень \(\sqrt{176}\) можно упростить:

\[ \sqrt{176} = \sqrt{16 \cdot 11} = 4\sqrt{11}. \]

Теперь подставим это в уравнение:

\[ y = \frac{-4 \pm 4\sqrt{11}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{11}. \]

Шаг 7: Находим \(x\)

Теперь вернемся к \(x\) из выражения \(y\):

\[ x^2 - 5x - 2 = -2 + 2\sqrt{11} \quad \text{или} \quad x^2 - 5x - 2 = -2 - 2\sqrt{11}. \]

Раскроем оба уравнения.

1) \(x^2 - 5x = 2\sqrt{11} - 2\)

Переписываем уравнение: \[ x^2 - 5x - (2\sqrt{11} - 2) = 0. \]

Используем формулу решения квадратного уравнения:

\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2\sqrt{11} + 2)}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8\sqrt{11} - 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{17 + 8\sqrt{11}}}{2}. \]

2) \(x^2 - 5x = -2 - 2\sqrt{11}\)

Аналогично: \[ x^2 - 5x + (2 + 2\sqrt{11}) = 0. \] Решаем так же, получаем:

\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 - 8\sqrt{11}}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8\sqrt{11}}}{2}. \]

Шаг 8: Заключение

Теперь у нас есть все возможные корни для \(x\):

\[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{17 + 8\sqrt{11}}}{2}, \quad x_2 = \frac{5 - \sqrt{17 + 8\sqrt{11}}}{2}, \quad x_3 = \frac{5 + \sqrt{17 - 8\sqrt{11}}}{2}, \quad x_4 = \frac{5 - \sqrt{17 - 8\sqrt{11}}}{2}. \]

Эти значения \(x\) являются решениями исходного уравнения. Если что-то неясно, дайте знать, я объясню подробнее!