(2х-3)(х+4)(х-2)≥0

Для решения неравенства \((2x - 3)(x + 4)(x - 2) \geq 0\) начнем с определения корней левой части.

Шаг 1: Найдем корни

Приравняем каждое из множителей к нулю:

1. \(2x - 3 = 0\)
   ⇒ \(2x = 3\)
   ⇒ \(x = \frac{3}{2}\)

2. \(x + 4 = 0\)
   ⇒ \(x = -4\)

3. \(x - 2 = 0\)
   ⇒ \(x = 2\)

Таким образом, у нас есть корни: \(x = -4\), \(x = \frac{3}{2}\), \(x = 2\).

Шаг 2: Определим интервалы

Теперь определим интервалы, на которых будем проверять знак произведения \((2x - 3)(x + 4)(x - 2)\). Корни разделяют числовую прямую на следующие интервалы:

1. \((-\infty, -4)\)
2. \((-4, \frac{3}{2})\)
3. \((\frac{3}{2}, 2)\)
4. \((2, +\infty)\)

Шаг 3: Проверим знак на каждом интервале

Теперь выберем тестовые точки в каждом интервале и проверим знак произведения:

1. Для интервала \((-\infty, -4)\):
   Выберем точку \(x = -5\):
   \((2(-5) - 3)(-5 + 4)(-5 - 2) = (-10 - 3)(-1)(-7) = (-13)(-1)(-7) > 0\)

2. Для интервала \((-4, \frac{3}{2})\):
   Выберем точку \(x = 0\):
   \((2(0) - 3)(0 + 4)(0 - 2) = (-3)(4)(-2) = 24 > 0\)

3. Для интервала \((\frac{3}{2}, 2)\):
   Выберем точку \(x = 1.8\):
   \((2(1.8) - 3)(1.8 + 4)(1.8 - 2) = (3.6 - 3)(5.8)(-0.2) = (0.6)(5.8)(-0.2) < 0\)

4. Для интервала \((2, +\infty)\):
   Выберем точку \(x = 3\):
   \((2(3) - 3)(3 + 4)(3 - 2) = (6 - 3)(7)(1) = 3 \cdot 7 \cdot 1 > 0\)

Шаг 4: Соберем результаты

Теперь суммируем результаты:

• Знак положительный на интервалах \((-\infty, -4)\), \((-4, \frac{3}{2})\) и \((2, +\infty)\).
• Знак отрицательный на интервале \((\frac{3}{2}, 2)\).

Шаг 5: Учтем корни

Поскольку в неравенстве стоит знак \(\geq\), то корни \(-4\), \(\frac{3}{2}\) и \(2\) включаются в решение:

Ответ

Неравенство \((2x - 3)(x + 4)(x - 2) \geq 0\) выполняется на интервалах:

\[ x \in (-\infty, -4] \cup [-4, \frac{3}{2}] \cup [2, +\infty) \]

Это и есть окончательный ответ.