(2х-3)(х+4)(х-2)≥0

Для решения неравенства \((2x - 3)(x + 4)(x - 2) \geq 0\) начнем с определения корней левой части. ### Шаг 1: Найдем корни Приравняем каждое из множителей к нулю: 1. \(2x - 3 = 0\) ⇒ \(2x = 3\) ⇒ \(x = \frac{3}{2}\) 2. \(x + 4 = 0\) ⇒ \(x = -4\) 3. \(x - 2 = 0\) ⇒ \(x = 2\) Таким образом, у нас есть корни: \(x = -4\), \(x = \frac{3}{2}\), \(x = 2\). ### Шаг 2: Определим интервалы Теперь определим интервалы, на которых будем проверять знак произведения \((2x - 3)(x + 4)(x - 2)\). Корни разделяют числовую прямую на следующие интервалы: 1. \((-\infty, -4)\) 2. \((-4, \frac{3}{2})\) 3. \((\frac{3}{2}, 2)\) 4. \((2, +\infty)\) ### Шаг 3: Проверим знак на каждом интервале Теперь выберем тестовые точки в каждом интервале и проверим знак произведения: 1. Для интервала \((-\infty, -4)\): Выберем точку \(x = -5\): \((2(-5) - 3)(-5 + 4)(-5 - 2) = (-10 - 3)(-1)(-7) = (-13)(-1)(-7) > 0\) 2. Для интервала \((-4, \frac{3}{2})\): Выберем точку \(x = 0\): \((2(0) - 3)(0 + 4)(0 - 2) = (-3)(4)(-2) = 24 > 0\) 3. Для интервала \((\frac{3}{2}, 2)\): Выберем точку \(x = 1.8\): \((2(1.8) - 3)(1.8 + 4)(1.8 - 2) = (3.6 - 3)(5.8)(-0.2) = (0.6)(5.8)(-0.2) < 0\) 4. Для интервала \((2, +\infty)\): Выберем точку \(x = 3\): \((2(3) - 3)(3 + 4)(3 - 2) = (6 - 3)(7)(1) = 3 \cdot 7 \cdot 1 > 0\) ### Шаг 4: Соберем результаты Теперь суммируем результаты: - Знак положительный на интервалах \((-\infty, -4)\), \((-4, \frac{3}{2})\) и \((2, +\infty)\). - Знак отрицательный на интервале \((\frac{3}{2}, 2)\). ### Шаг 5: Учтем корни Поскольку в неравенстве стоит знак \(\geq\), то корни \(-4\), \(\frac{3}{2}\) и \(2\) включаются в решение: ### Ответ Неравенство \((2x - 3)(x + 4)(x - 2) \geq 0\) выполняется на интервалах: \[ x \in (-\infty, -4] \cup [-4, \frac{3}{2}] \cup [2, +\infty) \] Это и есть окончательный ответ.