(2х+4)(7-3х)(х-2)≥0

Для решения неравенства \((2x + 4)(7 - 3x)(x - 2) \geq 0\) мы будем следовать пошаговой инструкции. Начнем с нахождения корней каждого множителя и затем определим интервалы функции.

Шаг 1: Найдем корни каждого множителя

1. Первый множитель: \(2x + 4 = 0\) \[ 2x = -4 \implies x = -2 \]

2. Второй множитель: \(7 - 3x = 0\) \[ 3x = 7 \implies x = \frac{7}{3} \]

3. Третий множитель: \(x - 2 = 0\) \[ x = 2 \]

Итак, корни (или нули) нашего выражения: \(x = -2\), \(x = 2\), \(x = \frac{7}{3}\).

Шаг 2: Определим интервалы

Теперь, когда у нас есть корни, разложим ось \(x\) на интервалы, используя найденные корни:

• \((- \infty, -2)\)
• \([-2, 2)\)
• \([2, \frac{7}{3})\)
• \([\frac{7}{3}, + \infty)\)

Шаг 3: Проверим знак произведения на каждом из интервалов

Для того чтобы понять, где произведение положительно, выберем по одному тестовому значению из каждого интервала и подставим его в выражение \((2x + 4)(7 - 3x)(x - 2)\).

1. Интервал \((- \infty, -2)\). Выберем \(x = -3\): \[ (2(-3) + 4)(7 - 3(-3))(-3 - 2) = (-2)(16)(-5) > 0 \]

2. Интервал \([-2, 2)\). Выберем \(x = 0\): \[ (2(0) + 4)(7 - 3(0))(0 - 2) = (4)(7)(-2) < 0 \]

3. Интервал \([2, \frac{7}{3})\). Выберем \(x = 2.5\): \[ (2(2.5) + 4)(7 - 3(2.5))(2.5 - 2) = (5)(-0.5)(0.5) < 0 \]

4. Интервал \([\frac{7}{3}, + \infty)\). Выберем \(x = 3\): \[ (2(3) + 4)(7 - 3(3))(3 - 2) = (10)(-2)(1) < 0 \]

Шаг 4: Составляем ответ

Мы проверили все интервалы:

• Положительный знак на интервале \((- \infty, -2)\).
• Отрицательный знак на интервалах \([-2, 2)\), \([2, \frac{7}{3})\) и \([\frac{7}{3}, + \infty)\).

Теперь, учитывая, что мы имеем неравенство \(\geq 0\), мы должны включить точки, где выражение равно нулю (то есть корни):

• \(-2\)
• \(2\)
• \(\frac{7}{3}\)

Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -2] \cup \{2\} \cup \left\{\frac{7}{3}\right\} \]

Это означает, что \(x\) может принимать любые значения из указанного интервала, включая границы.