(2х+4)(7-3х)(х-2)≥0

Для решения неравенства \((2x + 4)(7 - 3x)(x - 2) \geq 0\) мы будем следовать пошаговой инструкции. Начнем с нахождения корней каждого множителя и затем определим интервалы функции. ### Шаг 1: Найдем корни каждого множителя 1. **Первый множитель**: \(2x + 4 = 0\) \[ 2x = -4 \implies x = -2 \] 2. **Второй множитель**: \(7 - 3x = 0\) \[ 3x = 7 \implies x = \frac{7}{3} \] 3. **Третий множитель**: \(x - 2 = 0\) \[ x = 2 \] Итак, корни (или нули) нашего выражения: \(x = -2\), \(x = 2\), \(x = \frac{7}{3}\). ### Шаг 2: Определим интервалы Теперь, когда у нас есть корни, разложим ось \(x\) на интервалы, используя найденные корни: - \((- \infty, -2)\) - \([-2, 2)\) - \([2, \frac{7}{3})\) - \([\frac{7}{3}, + \infty)\) ### Шаг 3: Проверим знак произведения на каждом из интервалов Для того чтобы понять, где произведение положительно, выберем по одному тестовому значению из каждого интервала и подставим его в выражение \((2x + 4)(7 - 3x)(x - 2)\). 1. **Интервал \((- \infty, -2)\)**. Выберем \(x = -3\): \[ (2(-3) + 4)(7 - 3(-3))(-3 - 2) = (-2)(16)(-5) > 0 \] 2. **Интервал \([-2, 2)\)**. Выберем \(x = 0\): \[ (2(0) + 4)(7 - 3(0))(0 - 2) = (4)(7)(-2) < 0 \] 3. **Интервал \([2, \frac{7}{3})\)**. Выберем \(x = 2.5\): \[ (2(2.5) + 4)(7 - 3(2.5))(2.5 - 2) = (5)(-0.5)(0.5) < 0 \] 4. **Интервал \([\frac{7}{3}, + \infty)\)**. Выберем \(x = 3\): \[ (2(3) + 4)(7 - 3(3))(3 - 2) = (10)(-2)(1) < 0 \] ### Шаг 4: Составляем ответ Мы проверили все интервалы: - Положительный знак на интервале \((- \infty, -2)\). - Отрицательный знак на интервалах \([-2, 2)\), \([2, \frac{7}{3})\) и \([\frac{7}{3}, + \infty)\). Теперь, учитывая, что мы имеем неравенство \(\geq 0\), мы должны включить точки, где выражение равно нулю (то есть корни): - \(-2\) - \(2\) - \(\frac{7}{3}\) Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -2] \cup \{2\} \cup \left\{\frac{7}{3}\right\} \] Это означает, что \(x\) может принимать любые значения из указанного интервала, включая границы.