При каком максимальном значении параметра а система имеет ровно 2 решения |X+-y|<=a (X-a) ²+(y-a)²=a

Для решения данной задачи начнем с того, что у нас есть две неравенства: 1. \( |X - y| \leq a \) 2. \( (X - a)^2 + (y - a)^2 = a \) Наша цель — найти максимальное значение \( a \) при котором система уравнений имеет ровно 2 решения. ### Шаг 1: Анализ второго уравнения Второе уравнение описывает окружность, центр которой находится в точке \( (a, a) \) и радиус которой равен \( \sqrt{a} \). Это можно записать как: \[ (X - a)^2 + (y - a)^2 = a \] ### Шаг 2: Перепишем первое уравнение Первое неравенство \( |X - y| \leq a \) можно разбить на два условия: \[ -X + y \leq a \quad и \quad X - y \leq a \] Это задает область между двумя прямыми \( y = X + a \) и \( y = X - a \). ### Шаг 3: Найдем точки пересечения Чтобы определить, при каком \( a \) у нас будет ровно два решения, нужно изучить, как окружность пересекается с двумя наклонными прямыми. #### Уравнения прямых 1. \( y = X + a \) 2. \( y = X - a \) Подставим \( y \) из этих уравнений в уравнение окружности. Для первой прямой: \[ (X - a)^2 + (X + a - a)^2 = a \] Это упростится до: \[ (X - a)^2 + X^2 = a \] Раскроем скобки: \[ (X^2 - 2aX + a^2) + X^2 = a \] \[ 2X^2 - 2aX + a^2 - a = 0 \] \[ 2X^2 - 2aX + (a^2 - a) = 0 \] Для того чтобы эта квадратная форма (относительно \( X \)) имела 2 решения, дискриминант должен быть равен нулю: \[ D = b^2 - 4ac = (-2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - a) = 4a^2 - 8(a^2 - a) \] Упростим: \[ D = 4a^2 - 8a^2 + 8a = -4a^2 + 8a \] \[ D = 4a(2 - a) \] Для того чтобы было ровно 2 решения, \( D \) должно быть равно нулю: \[ 4a(2 - a) = 0 \] Это дает нам два корня: 1. \( a = 0 \) 2. \( a = 2 \) ### Шаг 4: Проверка на максимальное значение Поскольку нас интересует максимальное значение \( a \), которое обеспечивает ровно 2 решения, то это значение составляет \( a = 2 \). ### Ответ Таким образом, максимальное значение параметра \( a \), при котором система имеет ровно два решения, составляет: \[ \boxed{2} \] Эта задача показывает, как окружность может пересекаться с линейными уравнениями, создавая различное количество решений в зависимости от параметров.