при каком максимальном значении параметра а система имеет ровно 2 решения |X+-y|<=a (X-a) ²+(y-a)²=a

Для решения данной задачи начнем с того, что у нас есть две неравенства:

1. \( |X - y| \leq a \)
2. \( (X - a)^2 + (y - a)^2 = a \)

Наша цель — найти максимальное значение \( a \) при котором система уравнений имеет ровно 2 решения.

Шаг 1: Анализ второго уравнения

Второе уравнение описывает окружность, центр которой находится в точке \( (a, a) \) и радиус которой равен \( \sqrt{a} \). Это можно записать как:

\[ (X - a)^2 + (y - a)^2 = a \]

Шаг 2: Перепишем первое уравнение

Первое неравенство \( |X - y| \leq a \) можно разбить на два условия:

\[ -X + y \leq a \quad и \quad X - y \leq a \]

Это задает область между двумя прямыми \( y = X + a \) и \( y = X - a \).

Шаг 3: Найдем точки пересечения

Чтобы определить, при каком \( a \) у нас будет ровно два решения, нужно изучить, как окружность пересекается с двумя наклонными прямыми.

Уравнения прямых

1. \( y = X + a \)
2. \( y = X - a \)

Подставим \( y \) из этих уравнений в уравнение окружности.

Для первой прямой:

\[ (X - a)^2 + (X + a - a)^2 = a \]

Это упростится до:

\[ (X - a)^2 + X^2 = a \]

Раскроем скобки:

\[ (X^2 - 2aX + a^2) + X^2 = a \] \[ 2X^2 - 2aX + a^2 - a = 0 \] \[ 2X^2 - 2aX + (a^2 - a) = 0 \]

Для того чтобы эта квадратная форма (относительно \( X \)) имела 2 решения, дискриминант должен быть равен нулю:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - a) = 4a^2 - 8(a^2 - a) \]

Упростим:

\[ D = 4a^2 - 8a^2 + 8a = -4a^2 + 8a \] \[ D = 4a(2 - a) \]

Для того чтобы было ровно 2 решения, \( D \) должно быть равно нулю:

\[ 4a(2 - a) = 0 \]

Это дает нам два корня:

1. \( a = 0 \)
2. \( a = 2 \)

Шаг 4: Проверка на максимальное значение

Поскольку нас интересует максимальное значение \( a \), которое обеспечивает ровно 2 решения, то это значение составляет \( a = 2 \).

Ответ

Таким образом, максимальное значение параметра \( a \), при котором система имеет ровно два решения, составляет:

\[ \boxed{2} \]

Эта задача показывает, как окружность может пересекаться с линейными уравнениями, создавая различное количество решений в зависимости от параметров.