В группе 5 мальчиков и 3 девочки. Случайным образом выбирают двух человек. Какова вероятность того, что будут выбраны один одна девочка?
Для решения задачи о вероятности выбора одного мальчика и одной девочки, воспользуемся основными принципами комбинаторики и теории вероятности. Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Определим общее количество учащихся
В группе у нас есть:
- 5 мальчиков
- 3 девочки
Общее количество учащихся:
\[
5 + 3 = 8 \text{ человек}
\]
Шаг 2: Посчитаем общее количество способов выбрать двух человек
Чтобы найти общее количество способов выбрать 2 человека из 8, воспользуемся формулой биномиального коэффициента: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \( n \) - общее количество людей, \( k \) - количество людей, которое мы хотим выбрать. В нашем случае \( n = 8 \) и \( k = 2 \).
Подставим значения в формулу: \[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \]
Таким образом, существует 28 способов выбрать 2 человека из 8.
Шаг 3: Посчитаем количество способов выбрать одного мальчика и одну девочку
Теперь найдем количество способов выбрать 1 мальчика и 1 девочку. Мы можем выбрать:
- 1 мальчика из 5: \( C(5, 1) = 5 \)
- 1 девочку из 3: \( C(3, 1) = 3 \)
Количество способов выбрать одного мальчика и одну девочку: \[ C(5, 1) \times C(3, 1) = 5 \times 3 = 15 \]
Шаг 4: Найдем вероятность
Вероятность того, что будут выбраны один мальчик и одна девочка, вычисляется как отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов: \[ P = \frac{\text{Количество способов выбрать 1 мальчика и 1 девочку}}{\text{Общее количество способов выбрать 2 человека}} = \frac{15}{28} \]
Этот дробь можно сократить: \[ P = \frac{15}{28} = \frac{15 \div 1}{28 \div 1} \quad (\text{нет общих делителей}) \]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что при случайном выборе двух человек будут выбраны один мальчик и одна девочка, составляет: \[ \frac{15}{28} \]
Или в десятичном виде: \[ P \approx 0.536 \]
Это означает, что вероятность составляет примерно 53.6%.
Теперь у вас есть полное понимание процесса расчета вероятности выбора одного мальчика и одной девочки из данной группы.
