Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 9см , а диагональ боковой грани равна 15см . Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы
Для решения задачи начнем с нахождения размеров правильной треугольной грани призмы. Будем обозначать:
- \( h \) — высота боковой грани призмы,
- \( a \) — длина стороны основания (правильного треугольника).
Находим высоту боковой грани:
Боковая грань призмы является прямоугольником, у которого одно из измерений — боковое ребро (высота призмы) \( h = 9 \text{ см} \), а диагональ равна 15 см. Для прямоугольника со сторонами \( a \) и \( h \) можно воспользоваться теоремой Пифагора:
\[ d^2 = a^2 + h^2 \]
Подставим известные значения:
\[ 15^2 = a^2 + 9^2 \]
\[ 225 = a^2 + 81 \]
\[ a^2 = 225 - 81 = 144 \]
\[ a = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]
Находим площадь боковой поверхности призмы:
Площадь боковой поверхности \( S_{\text{бок}} \) правильной треугольной призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы:
Периметр правильного треугольника:
\[ P = 3a = 3 \times 12 = 36 \text{ см} \]
Площадь боковой поверхности:
\[ S_{\text{бок}} = P \times h = 36 \times 9 = 324 \text{ см}^2 \]
Находим площадь полной поверхности призмы:
Площадь полной поверхности \( S_{\text{полн}} \) включает в себя площадь боковой поверхности и площадь двух оснований (правильного треугольника).
Площадь одного основания (правильного треугольника) можно найти по формуле:
\[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]
Подставим значение \( a \):
\[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 36\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
Площадь двух оснований:
\[ S_{\text{два основания}} = 2 \cdot S_{\text{осн}} = 2 \cdot 36\sqrt{3} = 72\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
Полная площадь поверхности:
\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{два основания}} = 324 + 72\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
Теперь подводим итог:
- Площадь боковой поверхности: \( 324 \text{ см}^2 \)
- Площадь полной поверхности: \( 324 + 72\sqrt{3} \text{ см}^2 \) (приблизительно \( 324 + 124.74 \approx 448.74 \text{ см}^2 \) при \( \sqrt{3} \approx 1.732 \)).
