Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 9см , а диагональ боковой грани равна 15см . Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы

Для решения задачи начнем с нахождения размеров правильной треугольной грани призмы. Будем обозначать: - \( h \) — высота боковой грани призмы, - \( a \) — длина стороны основания (правильного треугольника). 1. **Находим высоту боковой грани:** Боковая грань призмы является прямоугольником, у которого одно из измерений — боковое ребро (высота призмы) \( h = 9 \text{ см} \), а диагональ равна 15 см. Для прямоугольника со сторонами \( a \) и \( h \) можно воспользоваться теоремой Пифагора: \[ d^2 = a^2 + h^2 \] Подставим известные значения: \[ 15^2 = a^2 + 9^2 \] \[ 225 = a^2 + 81 \] \[ a^2 = 225 - 81 = 144 \] \[ a = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \] 2. **Находим площадь боковой поверхности призмы:** Площадь боковой поверхности \( S_{\text{бок}} \) правильной треугольной призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы: Периметр правильного треугольника: \[ P = 3a = 3 \times 12 = 36 \text{ см} \] Площадь боковой поверхности: \[ S_{\text{бок}} = P \times h = 36 \times 9 = 324 \text{ см}^2 \] 3. **Находим площадь полной поверхности призмы:** Площадь полной поверхности \( S_{\text{полн}} \) включает в себя площадь боковой поверхности и площадь двух оснований (правильного треугольника). Площадь одного основания (правильного треугольника) можно найти по формуле: \[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Подставим значение \( a \): \[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 36\sqrt{3} \text{ см}^2 \] Площадь двух оснований: \[ S_{\text{два основания}} = 2 \cdot S_{\text{осн}} = 2 \cdot 36\sqrt{3} = 72\sqrt{3} \text{ см}^2 \] Полная площадь поверхности: \[ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{два основания}} = 324 + 72\sqrt{3} \text{ см}^2 \] Теперь подводим итог: - Площадь боковой поверхности: \( 324 \text{ см}^2 \) - Площадь полной поверхности: \( 324 + 72\sqrt{3} \text{ см}^2 \) (приблизительно \( 324 + 124.74 \approx 448.74 \text{ см}^2 \) при \( \sqrt{3} \approx 1.732 \)).