Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 58°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решим задачу, используя геометрические свойства окружности и касательных.

1. Дано:

   • Окружность с центром \( O \).
   • Точки касания касательных — \( A \) и \( B \).
   • Угол между касательными \( \angle AOB = 58^\circ \).

2. Необходимый угол:

   • Нам нужно найти угол \( \angle AVO \).

3. Свойства касательных к окружности:

   • Касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. Это значит, что:
     • \( OA \perp TA \) (касательная в точке \( A \)),
     • \( OB \perp TB \) (касательная в точке \( B \)), где \( TA \) и \( TB \) — это касательные в точках \( A \) и \( B \) соответственно.

4. Рассмотрим треугольник \( OAB \):

   • У нас есть угол \( \angle AOB = 58^\circ \).
   • Поскольку \( OA \) и \( OB \) являются радиусами окружности, они равны: \( OA = OB \).
   • В треугольнике \( OAB \) углы \( \angle OAB \) и \( \angle OBA \) равны (треугольник равнобедренный).

5. Сумма углов в треугольнике:

   • Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \): \[ \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ \] Подставим \( \angle OAB = \angle OBA \) и обозначим их перекрестком \( x \): \[ 58^\circ + x + x = 180^\circ \] \[ 58^\circ + 2x = 180^\circ \] \[ 2x = 180^\circ - 58^\circ \] \[ 2x = 122^\circ \] \[ x = 61^\circ \] Значит, \( \angle OAB = \angle OBA = 61^\circ \).

6. Теперь мы можем найти угол \( AVO \):

   • Угол \( AVO \) и угол \( OAB \) являются односторонними (дополняющими) углами, поскольку \( TA \) и \( TB \) — касательные: \[ \angle AVO = 180^\circ - \angle OAB = 180^\circ - 61^\circ = 119^\circ \]

Ответ: Угол \( AVO \) равен \( 119^\circ \).