Найди нули функции и область допустимых значений (ОДЗ) для неравенства x + 19 x + 8 ≥ 0 x+8 x+19 ≥0 .
Решим задачу, представленную в вашем запросе. Мы найдем нули функции и область допустимых значений (ОДЗ) для неравенства
\[ \frac{x + 8}{x + 19} \geq 0. \]
Шаг 1: Найдем нули числителя и знаменателя.
1. Нули числителя:
Чтобы определить, где дробь равна нулю, необходимо решить уравнение:
\[ x + 8 = 0. \]
Решим его:
\[ x = -8. \]
2. Нули знаменателя:
Теперь найдем, где знаменатель равен нулю, чтобы избежать деления на ноль:
\[ x + 19 = 0. \]
Решим это уравнение:
\[ x = -19. \]
Шаг 2: Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Функция определена при всех \( x \), кроме тех, где знаменатель равен нулю. Таким образом, ОДЗ будет:
\[ x \neq -19. \]
Шаг 3: Исследуем знак дроби.
Теперь нужно определить, на каких интервалах дробь \(\frac{x + 8}{x + 19}\) больше или равна нулю. Для этого рассмотрим нули и знаки на интервалах, определенных найденными значениями:
- \( x < -19 \)
- \( -19 < x < -8 \)
- \( x = -8 \)
- \( x > -8 \)
Проверяем знаки на интервалах:
Интервал \( (-\infty, -19) \):
- Выберем \( x = -20 \): \[ \frac{-20 + 8}{-20 + 19} = \frac{-12}{-1} = 12 > 0. \]
Интервал \( (-19, -8) \):
- Выберем \( x = -10 \): \[ \frac{-10 + 8}{-10 + 19} = \frac{-2}{9} < 0. \]
Точка \( x = -8 \):
- Подставим значение \( -8 \): \[ \frac{-8 + 8}{-8 + 19} = \frac{0}{11} = 0. \]
Интервал \( (-8, +\infty) \):
- Выберем \( x = 0 \): \[ \frac{0 + 8}{0 + 19} = \frac{8}{19} > 0. \]
Шаг 4: Составим ответ.
Теперь подводим итоги:
- Значение дроби \(\frac{x + 8}{x + 19} \geq 0\) на интервалах \( (-\infty, -19) \) и \( [-8, +\infty) \).
- Область допустимых значений (ОДЗ) — все \( x \), кроме \( -19 \).
Запись окончательного ответа:
Нули функции:
- \( x = -8 \).
Область допустимых значений:
- ОДЗ: \( x \in (-\infty, -19) \cup (-19, +\infty) \).
- Решение неравенства: \( x \in (-\infty, -19) \cup [-8, +\infty) \).
Это и есть ответ на вашу задачу! Если есть дополнительные вопросы или что-то непонятно, дайте знать!
