Реши неравенство ( x + 46 ) ( x + 71 ) < 0 (x+46)(x+71)<0 , используя метод интервалов.

Чтобы решить неравенство \((x + 46)(x + 71) < 0\) методом интервалов, будем придерживаться следующих шагов:

Шаг 1: Найдем корни неравенства

Чтобы определить, когда произведение двух скобок будет меньше нуля, найдем корни, при которых \((x + 46)(x + 71) = 0\). Для этого решим уравнения:

1. \(x + 46 = 0 \Rightarrow x = -46\)
2. \(x + 71 = 0 \Rightarrow x = -71\)

Шаг 2: Разобьем числовую ось на интервалы

Теперь, когда у нас есть корни \(-46\) и \(-71\), разобьем числовую ось на интервалы:

• \( (-\infty, -71) \)
• \( (-71, -46) \)
• \( (-46, +\infty) \)

Шаг 3: Определим знак произведения на каждом интервале

Теперь выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение \((x + 46)(x + 71)\):

1. Для интервала \((- \infty, -71)\): возьмем точку \(x = -72\): \[ (-72 + 46)(-72 + 71) = (-26)(-1) = 26 > 0 \]

2. Для интервала \((-71, -46)\): возьмем точку \(x = -60\): \[ (-60 + 46)(-60 + 71) = (-14)(11) = -154 < 0 \]

3. Для интервала \((-46, +\infty)\): возьмем точку \(x = 0\): \[ (0 + 46)(0 + 71) = (46)(71) = 3276 > 0 \]

Шаг 4: Подводим итог

Теперь мы можем подвести итоги по знакам на каждом интервале:

• На интервале \((- \infty, -71)\) результат положительный.
• На интервале \((-71, -46)\) результат отрицательный.
• На интервале \((-46, +\infty)\) результат положительный.

Шаг 5: Сделаем вывод

Неравенство \((x + 46)(x + 71) < 0\) выполняется на интервале \((-71, -46)\).

Ответ

\[ x \in (-71, -46) \]

Таким образом, значения \(x\) в этом интервале удовлетворяют данному неравенству.