доказать, что функция f(x)=3x+sinx -e^2x является первообразной функции f(x)=3+coos -2e^2x на всей числовой прямой

Чтобы доказать, что функция \( f(x) = 3x + \sin x - e^{2x} \) является первообразной функции \( g(x) = 3 + \cos x - 2e^{2x} \), необходимо показать, что производная функции \( f(x) \) равна функции \( g(x) \):

1. Найдём производную функции \( f(x) \):

   Используем правило дифференцирования для каждого слагаемого:

   \[ f(x) = 3x + \sin x - e^{2x} \]

   По правилу производной:

   • Производная \( 3x \) равна \( 3 \).
   • Производная \( \sin x \) равна \( \cos x \).
   • Производная \( -e^{2x} \) с использованием производной сложной функции \( \frac{d}{dx} e^{u} = e^{u} \cdot \frac{du}{dx} \) (где \( u = 2x \)) будет равна \( -2e^{2x} \).

   Таким образом,

   \[ f'(x) = 3 + \cos x - 2e^{2x} \]

2. Сравним \( f'(x) \) с \( g(x) \):

   Напомним функцию \( g(x) \):

   \[ g(x) = 3 + \cos x - 2e^{2x} \]

   Мы видим, что:

   \[ f'(x) = g(x) \]

3. Вывод:

   Поскольку мы показали, что производная \( f'(x) \) равна функции \( g(x) \), мы можем заключить, что функция \( f(x) \) действительно является первообразной для \( g(x) \) на всей числовой прямой.

Таким образом, задача доказана.