Аня и Боря играют в игру на клетчатом поле 8×8 . За один ход Аня ставит точку в одну из свободных клеток. Боря за свой ход может сократить размеры поля с любого края, вычеркнув столбец или строку, если там находится не более 2 точек (которые ещё не были вычеркнуты). Игроки ходят по очереди, начинает Аня. Игра заканчивается, когда Боря не может сделать ход. Какое наибольшее количество клеток может остаться на поле?

Чтобы понять эту задачу, давайте проанализируем условия игры и рассмотрим стратегии обоих игроков. ### Условия игры: 1. Игра проходит на клетчатом поле размером 8×8, то есть всего 64 клетки. 2. Аня ставит точку в одну из свободных клеток. 3. Боря может убирать строку или столбец, если в нем не больше 2 точек. 4. Игра продолжается до тех пор, пока Боря не сможет сделать ход, то есть не сможет убрать ни строку, ни столбец. ### Цель Определить максимальное количество клеток, которое может остаться на поле, когда Боря не сможет сделать ход. ### Стратегия Ани Чтобы максимизировать количество клеток на поле, Аня должна стремиться ставить точки так, чтобы Боря не имел возможности убрать слишком много строк или столбцов сразу. ### Стратегия Бори Боря, в свою очередь, будет стараться убрать строки или столбцы так, чтобы оставалось как можно меньше клеток. ### Подход к решению 1. **Размещение точек**: Аня может ставить 2 точки в каждой строке и в каждом столбце. Таким образом, у нее будет возможность управлять расстановкой точек так, чтобы в каждой строке и столбце было не более 2 точек. 2. **Количество оставшихся клеток**: Чтобы максимально сохранить клетки на поле, Аня должна стараться избежать ситуации, при которой в одной линии (строке или столбце) окажется больше 2 точек, так как это дает возможность Боре убрать эту линию. ### Пример размещения точек Предположим, Аня разместит точки следующим образом: ``` X X . . . . . . X X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ``` В этом случае: - В первых двух строках по 2 точки. - В остальных строках 0 точек. После первого хода Бори, он может убрать одну из строк (например, первую или вторую), но не обе. В итоге некоторые строки и столбцы останутся незатронутыми. ### Максимальное количество клеток Если Аня разместит 8 точек (по 2 в 4 строках) и 4 строки будут пустыми, то через несколько ходов Боря, возможно, сможет убрать 4 строки, тогда как клетки в оставшихся строках останутся. Таким образом, можно заметить, что при умелом размещении точек и грамотной стратегии, максимальное количество клеток, которое может остаться на поле, составляет 16 клеток. Это происходит, если Аня правильно распределяет точки, и Боря не сможет удалить больше 2 строк и 2 столбцов. ### Ответ Наибольшее количество клеток, которое может остаться на поле, равно **16**.