реши

Чтобы найти дифференциал функции \( f(x) = \operatorname{arcctg} x \) в точке \( x_0 = 2 \) при приращении \(\Delta x = 0.1\), следуем стандартной процедуре нахождения дифференциала.

Шаги решения:

1. Найдем производную функции \( f(x) = \operatorname{arcctg} x \).

   Формула производной для обратного котангенса: \[ f'(x) = \frac{-1}{1 + x^2} \]

2. Подставим \( x_0 = 2 \) в производную, чтобы найти её значение в этой точке:

   \[ f'(2) = \frac{-1}{1 + (2)^2} = \frac{-1}{1 + 4} = \frac{-1}{5} \]

3. Вычислим дифференциал \(\text{df}(x_0)\), который определяется как: \[ \text{df}(x_0) = f'(x_0) \cdot \Delta x \]

   Подставим найденные значения: \[ \text{df}(2) = \frac{-1}{5} \cdot 0.1 = \frac{-0.1}{5} = -0.02 \]

Ответ:

Дифференциал \( \text{df}(2) = -0.02 \).