реши

Для решения этой задачи нужно выразить вектор \(\vec{x}\) в новой базисе \(\mathcal{B}'\).

Дан исходный вектор: \[ \vec{x}_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \]

Исходный базис: \[ \mathcal{B} = \left\langle \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3 \right\rangle \]

Новый базис: \[ \mathcal{B}' = \left\langle \vec{e}'_1, \vec{e}'_2, \vec{e}'_3 \right\rangle \] где \[ \vec{e}'_1 = 2\vec{e}_1 + 6\vec{e}_2 + 5\vec{e}_3,\\ \vec{e}'_2 = 5\vec{e}_1 + 3\vec{e}_2 - 2\vec{e}_3,\\ \vec{e}'_3 = 7\vec{e}_1 + 4\vec{e}_2 - 3\vec{e}_3 \]

Шаг 1: Составим матрицу перехода

Матрица перехода \(P\) от базиса \(\mathcal{B}'\) к базису \(\mathcal{B}\) состоят из столбцов, которые представляют собой координаты векторов \(\vec{e}'_1, \vec{e}'_2, \vec{e}'_3\) в базисе \(\mathcal{B}\):

\[ P = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 7 \\ 6 & 3 & 4 \\ 5 & -2 & -3 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Найдём обратную матрицу \(P^{-1}\)

Используя метод Гаусса или функцию в калькуляторе, находим обратную матрицу \(P^{-1}\):

\[ P^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -1 \\ \frac{3}{2} & \frac{5}{12} & -2 \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Переводим вектор в новый базис \(\mathcal{B}'\)

Координаты вектора \(\vec{x}\) в базисе \(\mathcal{B}'\) получаются умножением обратной матрицы \(P^{-1}\) на координаты вектора в базисе \(\mathcal{B}\):

\[ \vec{x}_{\mathcal{B}'} = P^{-1} \cdot \vec{x}_{\mathcal{B}} \]

\[ \vec{x}_{\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -1 \\ \frac{3}{2} & \frac{5}{12} & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \]

Вычисляем:

\[ = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 + 1 \cdot (-1) \\ \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) \\ \frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{5}{12} \cdot 0 + (-2) \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} - 1 \\ \frac{1}{2} + 1 \\ \frac{3}{2} + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{4}{3} \\ \frac{3}{2} \\ \frac{7}{2} \end{pmatrix} \]

Таким образом, координаты вектора \(\vec{x}\) в базисе \(\mathcal{B}'\) равны \(\left(-\frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{7}{2}\right)\).