Известно что треугольники подобны и их периметр относиться как 9/10. Как относятся их площади?

Чтобы решить задачу о пропорции площадей подобных треугольников, начнем с того, что знаем о подобных фигурах.

1. Определение подобия:
   Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а отношения соответствующих сторон равны. Это означает, что если один треугольник увеличивается или уменьшается по размеру, а углы остаются теми же, то они подобны.

2. Отношение периметров:
   В задаче указано, что периметры треугольников относятся как \( \frac{9}{10} \). Обозначим это отношение как \( \frac{P_1}{P_2} = \frac{9}{10} \), где \( P_1 \) – периметр первого треугольника, а \( P_2 \) – периметр второго треугольника.

3. Отношение сторон:
   Поскольку периметр треугольников равен сумме всех его сторон, это отношение также будет одинаковым для соответствующих сторон треугольников. Обозначим сторону первого треугольника как \( a \), а его соответствующую сторону во втором треугольнике как \( b \). Тогда можно записать: \[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{9}{10} \]

4. Отношение площадей:
   Площадь подобного треугольника пропорциональна квадрату отношения соответствующих сторон. То есть, если \( k \) – коэффициент подобия (отношение сторон), то отношение площадей треугольников будет: \[ \frac{S_1}{S_2} = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2 \] В нашем случае: \[ k = \frac{9}{10} \] Тогда: \[ \frac{S_1}{S_2} = \left( \frac{9}{10} \right)^2 = \frac{81}{100} \]

5. Ответ:
   Итак, площади треугольников относятся как \( \frac{81}{100} \).

Таким образом, если два треугольника подобны и их периметры относятся как 9:10, то их площади будут относиться как 81:100.