Задумали трёхзначное число, вторая цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами, но первую и вторую цифру поменяли местами. Получили число
630
630. Найди все числа, большие
900
900 и обладающие таким свойством.
Давайте решим эту задачу шаг за шагом и разберем все детали.
### Шаг 1: Обозначим трёхзначное число
Пусть трёхзначное число обозначается как \( abc \), где \( a \), \( b \), \( c \) — его цифры. При этом:
- \( a \) — первая цифра (от 1 до 9, так как это трёхзначное число),
- \( b \) — вторая цифра (от 1 до 9, так как по условию она не равна нулю),
- \( c \) — третья цифра (от 0 до 9).
Таким образом, можно записать трёхзначное число как:
\[
N = 100a + 10b + c
\]
### Шаг 2: Запишем число с поменянными цифрами
Число, полученное из исходного, при котором первая и вторая цифры поменяны местами, будет записываться как \( bac \):
\[
M = 100b + 10a + c
\]
### Шаг 3: Найдем разность
По условию задачи, вычитаем число \( M \) из числа \( N \):
\[
N - M = (100a + 10b + c) - (100b + 10a + c)
\]
Упростим это выражение:
\[
N - M = 100a + 10b + c - 100b - 10a - c = 90a - 90b = 90(a - b)
\]
### Шаг 4: Сравним с 630
По условию задачи, разность равна 630:
\[
90(a - b) = 630
\]
Разделим обе стороны уравнения на 90:
\[
a - b = \frac{630}{90} = 7
\]
Таким образом, мы получили:
\[
a - b = 7 \implies a = b + 7
\]
### Шаг 5: Подберем возможные значения для \( a \) и \( b \)
Мы знаем, что \( a \) и \( b \) должны быть цифрами. То есть:
1. \( a \) должно быть от 1 до 9 (включительно),
2. \( b \) должно быть от 1 до 9 (включительно).
Так как \( a = b + 7 \), минимальное значение для \( b \):
- Если \( b = 1 \), тогда \( a = 1 + 7 = 8 \) (значение корректное)
- Если \( b = 2 \), тогда \( a = 2 + 7 = 9 \) (значение корректное)
- Если \( b \) больше 2, значение \( a \) будет больше 9, что недопустимо.
Таким образом, возможные пары \((a, b)\):
1. \( (8, 1) \)
2. \( (9, 2) \)
### Шаг 6: Находим трёхзначные числа
Теперь мы можем подставить значения \( a \) и \( b \), чтобы найти числа:
1. Для \( (8, 1) \) получаем \( c \) может быть от 0 до 9, итак, число будет \( 810, 811, 812, \ldots, 819 \).
2. Для \( (9, 2) \) получаем \( c \) также от 0 до 9, число будет \( 920, 921, 922, \ldots, 929 \).
### Шаг 7: Вычисляем все возможные числа
Таким образом, все трёхзначные числа, соответствующие условиям задачи и больше 900:
- От 810: \( 810, 811, 812, 813, 814, 815, 816, 817, 818, 819 \)
- От 920: \( 920, 921, 922, 923, 924, 925, 926, 927, 928, 929 \)
Числа, большие 900:
- \( 920, 921, 922, 923, 924, 925, 926, 927, 928, 929 \)
### Ответ
Таким образом, все числа, большие 900 и обладающие указанным свойством:
\[
\{920, 921, 922, 923, 924, 925, 926, 927, 928, 929\}
\]
