Симметричную игральную кость бросили три раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало два очка»?

Для решения данной задачи мы сначала рассмотрим все возможные комбинации, которые могут дать в сумме 6 очков при трех бросках игральной кости. Затем найдем количество благоприятных исходов, где хотя бы один из бросков показывает два очка, и в конце рассчитаем вероятность.

Шаг 1: Найдем все комбинации, дающие сумму 6

Поскольку мы бросаем игральную кость 3 раза и хотим, чтобы сумма равнялась 6, мы можем представить это как задачу о нахождении неотрицательных целых чисел \( x_1, x_2, x_3 \), таких что: \[ x_1 + x_2 + x_3 = 6 \] где каждая переменная \( x_i \) (результат броска) может принимать значения от 1 до 6.

Чтобы упростить задачу, можно использовать замену \( y_i = x_i - 1 \) (т. е. вычтем 1 из каждого результата). Тогда у нас получится: \[ y_1 + y_2 + y_3 = 3 \] где \( y_i \geq 0 \).

Применение формулы сочетаний с повторениями

Для решения уравнения с неотрицательными целыми решениями мы можем воспользоваться формулой сочетаний. Количество решений можно вычислить по формуле: \[ C(n + k - 1, k - 1) \] где \( n \) — сумма (3), а \( k \) — количество переменных (3): \[ C(3 + 3 - 1, 3 - 1) = C(5, 2) = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

Таким образом, существует 10 комбинаций, которые дают в сумме 6. Эти комбинации – это:

1. (1, 1, 4)
2. (1, 2, 3)
3. (1, 3, 2)
4. (1, 4, 1)
5. (2, 1, 3)
6. (2, 2, 2)
7. (2, 3, 1)
8. (3, 1, 2)
9. (3, 2, 1)
10. (4, 1, 1)

Шаг 2: Найдем благоприятные исходы

Теперь нужно найти, сколько из этих комбинаций содержат хотя бы одно «2». Проанализируем каждую комбинацию:

• (1, 1, 4) – не содержит 2
• (1, 2, 3) – содержит 2
• (1, 3, 2) – содержит 2
• (1, 4, 1) – не содержит 2
• (2, 1, 3) – содержит 2
• (2, 2, 2) – содержит 2
• (2, 3, 1) – содержит 2
• (3, 1, 2) – содержит 2
• (3, 2, 1) – содержит 2
• (4, 1, 1) – не содержит 2

Благоприятные исходы: 7 комбинаций:

1. (1, 2, 3)
2. (1, 3, 2)
3. (2, 1, 3)
4. (2, 2, 2)
5. (2, 3, 1)
6. (3, 1, 2)
7. (3, 2, 1)

Шаг 3: Рассчитаем вероятность

Общее количество возможных исходов при 3 бросках кубика: \[ 6^3 = 216 \]

Вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 2: \[ P(A) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{7}{10} \]

Ответ

Вероятность того, что хотя бы один раз выпадет два очка, составляет \( \frac{7}{10} \) или 0.7.