Стрелок попадает по мишени с вероятностью 0,6. Он делает три выстрела. Найдите вероятность события стрелок 2 раза промахнулся по мишени и 1 раз попал
Для решения этой задачи мы будем использовать биномиальное распределение, так как мы имеем дело с независимыми испытаниями (каждый выстрел) с двумя возможными исходами: попадание (успех) и промах (неудача).
Давайте обозначим:
- Вероятность попадания по мишени (успех) \( p = 0,6 \).
- Вероятность промаха (неудачи) \( q = 1 - p = 0,4 \).
- Количество выстрелов \( n = 3 \).
- Количество попаданий \( k = 1 \) (это означает, что стрелок попал один раз и промахнулся дважды).
Вероятность получить именно \( k \) успешных исходов (в нашем случае попаданий) в \( n \) испытаниях (в нашем случае выстрелов) можно вычислить с помощью формулы биномиального распределения:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]
Теперь подставим наши значения:
- Вычислим биномиальный коэффициент \( C(3, 1) \):
\[ C(3, 1) = \frac{3!}{1! \cdot (3 - 1)!} = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \times (2 \times 1)} = 3 \]
- Вычислим \( p^k \) и \( q^{n-k} \):
\[ p^k = 0,6^1 = 0,6 \]
\[ q^{n-k} = 0,4^2 = 0,16 \]
- Теперь подставим все в формулу для вероятности:
\[ P(X = 1) = C(3, 1) \cdot p^k \cdot q^{n-k} = 3 \cdot 0,6 \cdot 0,16 \]
Теперь вычислим это:
\[ P(X = 1) = 3 \cdot 0,6 \cdot 0,16 = 3 \cdot 0,096 = 0,288 \]
Таким образом, вероятность того, что стрелок два раза промахнется и один раз попадет по мишени, равна 0,288 или 28,8%.
