Для решения этой задачи мы будем использовать биномиальное распределение, так как мы имеем дело с независимыми испытаниями (каждый выстрел) с двумя возможными исходами: попадание (успех) и промах (неудача).
Давайте обозначим:
- Вероятность попадания по мишени (успех) ( p = 0,6 ).
- Вероятность промаха (неудачи) ( q = 1 - p = 0,4 ).
- Количество выстрелов ( n = 3 ).
- Количество попаданий ( k = 1 ) (это означает, что стрелок попал один раз и промахнулся дважды).
Вероятность получить именно ( k ) успешных исходов (в нашем случае попаданий) в ( n ) испытаниях (в нашем случае выстрелов) можно вычислить с помощью формулы биномиального распределения:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где ( C(n, k) ) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}
]
Теперь подставим наши значения:
- Вычислим биномиальный коэффициент ( C(3, 1) ):
[
C(3, 1) = \frac{3!}{1! \cdot (3 - 1)!} = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \times (2 \times 1)} = 3
]
- Вычислим ( p^k ) и ( q^{n-k} ):
[
p^k = 0,6^1 = 0,6
]
[
q^{n-k} = 0,4^2 = 0,16
]
- Теперь подставим все в формулу для вероятности:
[
P(X = 1) = C(3, 1) \cdot p^k \cdot q^{n-k} = 3 \cdot 0,6 \cdot 0,16
]
Теперь вычислим это:
[
P(X = 1) = 3 \cdot 0,6 \cdot 0,16 = 3 \cdot 0,096 = 0,288
]
Таким образом, вероятность того, что стрелок два раза промахнется и один раз попадет по мишени, равна 0,288 или 28,8%.
