В данной задаче нам необходимо найти расстояние от точки ( B ) до точки касания с окружностью, если угол между касательными равен ( 90^\circ ), а радиус окружности равен ( 17 ).
Шаг 1: Понимание конструкции
Представим ситуацию:
- У нас есть окружность с центром в точке ( O ) и радиусом ( R = 17 ).
- Из точки ( B ) проведены две касательные к окружности, которые касаются окружности в точках ( A_1 ) и ( A_2 ) (в этих точках касания).
- Угол между касательными ( BA_1 ) и ( BA_2 ) равен ( 90^\circ ).
Шаг 2: Свойства касательных
При проведении касательной к окружности:
- Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
- То есть, отрезки ( OA_1 ) и ( OA_2 ) перпендикулярны ( BA_1 ) и ( BA_2 ) соответственно.
Шаг 3: Рассмотрим треугольник ( OBA_1 )
В данном треугольнике ( OBA_1 ):
- ( O ) — центр окружности.
- ( A_1 ) — точка касания.
- ( B ) — точка, из которой проведены касательные.
- Угол ( A_1OB ) равен ( 45^\circ ) (поскольку в точке ( B ) угол между касательными равен ( 90^\circ )).
Шаг 4: Применим теорему Пифагора
Поскольку ( OA_1 ) — это радиус, а ( OB ) — расстояние от ( O ) до точки ( B ) (гипотенуза), то в прямоугольном треугольнике ( OBA_1 ) мы используем теорему Пифагора:
[
OB^2 = OA_1^2 + BA_1^2
]
Шаг 5: Обозначим известные значения
- ( OA_1 = R = 17 )
- Угол между лучами ( OA_1 ) и ( OB ) равен ( 45^\circ ), значит ( BA_1 = d ) (расстояние от точки ( B ) до точки касания ( A_1 )) является одной из катетов треугольника.
Шаг 6: Расчет
Используя свойства угла:
[
d = OA_1 \cdot \tan(45^\circ)
]
Так как ( \tan(45^\circ) = 1 ), мы можем найти:
[
BA_1 = OA_1 = R = 17
]
Таким образом, расстояние от точки ( B ) до точки касания с окружностью составит ( 17 ).
Ответ
Расстояние от точки ( B ) до точки касания с окружностью равно ( 17 ) единиц.
