Давайте найдем производные заданных функций поочередно и подробно объясним каждый шаг.
1. ( f(x) = x^3 )
Чтобы найти производную этой функции, применим правило дифференцирования степени (если ( f(x) = x^n ), то ( f'(x) = nx^{n-1} )):
[
f'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2
]
Таким образом, производная функции ( f(x) = x^3 ) равна ( f'(x) = 3x^2 ).
2. ( f(x) = \sin x )
Производная синуса дается следующим правилом: ( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x ). Применяя это правило, получаем:
[
f'(x) = \cos x
]
То есть, производная функции ( f(x) = \sin x ) равна ( f'(x) = \cos x ).
3. ( f(x) = 3 \ln(x) + 2x )
Здесь мы применим правило дифференцирования для логарифмической функции ( \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} ) и правило для линейной функции:
[
f'(x) = 3 \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x)) + 2 \cdot \frac{d}{dx}(x)
]
Теперь подставим:
[
f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{x} + 2
]
Таким образом, производная функции ( f(x) = 3 \ln(x) + 2x ) равна ( f'(x) = \frac{3}{x} + 2 ).
4. ( f(x) = \frac{3^x}{e^x} )
Эта функция может быть упрощена с использованием правила деления и свойства экспоненты:
[
f(x) = 3^x e^{-x}
]
Чтобы найти производную, применим правило произведения:
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3^x) \cdot e^{-x} + 3^x \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})
]
Где ( \frac{d}{dx}(3^x) = 3^x \ln(3) ) и ( \frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x} ):
[
f'(x) = 3^x \ln(3) e^{-x} - 3^x e^{-x}
]
Теперь можно выделить ( 3^x e^{-x} ):
[
f'(x) = 3^x e^{-x} (\ln(3) - 1)
]
Итак, производная функции ( f(x) = \frac{3^x}{e^x} ) равна ( f'(x) = 3^x e^{-x} (\ln(3) - 1) ).
5. ( f(x) = (x^2 - 4x)^3 )
Здесь применим правило цепи: если ( f(g(x)) ) — то ( f'(g(x)) \cdot g'(x) ).
Обозначим ( g(x) = x^2 - 4x ) и ( f(u) = u^3 ), тогда:
[
f'(u) = 3u^2
]
Сначала находим ( g'(x) ):
[
g'(x) = 2x - 4
]
Теперь применяем правило цепи:
[
f'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 3(x^2 - 4x)^2 (2x - 4)
]
Следовательно, производная функции ( f(x) = (x^2 - 4x)^3 ) равна:
[
f'(x) = 3(x^2 - 4x)^2 (2x - 4)
]
Итоговые производные:
- ( f'(x) = 3x^2 )
- ( f'(x) = \cos x )
- ( f'(x) = \frac{3}{x} + 2 )
- ( f'(x) = 3^x e^{-x} (\ln(3) - 1) )
- ( f'(x) = 3(x^2 - 4x)^2 (2x - 4) )
