1 вариант Найти значения производных функций: 1) f(x) = x ^ 3 ; 2) f(x) = sin x; 3) f(x) = 3 * ln(x) + 2x ; f(x) = (3 ^ x)/(e ^ x) 4) ; 5) f(x) = (x ^ 2 - 4x) ^ 3 .

Давайте найдем производные заданных функций поочередно и подробно объясним каждый шаг.

1. \( f(x) = x^3 \)

Чтобы найти производную этой функции, применим правило дифференцирования степени (если \( f(x) = x^n \), то \( f'(x) = nx^{n-1} \)):

\[ f'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2 \]

Таким образом, производная функции \( f(x) = x^3 \) равна \( f'(x) = 3x^2 \).

2. \( f(x) = \sin x \)

Производная синуса дается следующим правилом: \( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \). Применяя это правило, получаем:

\[ f'(x) = \cos x \]

То есть, производная функции \( f(x) = \sin x \) равна \( f'(x) = \cos x \).

3. \( f(x) = 3 \ln(x) + 2x \)

Здесь мы применим правило дифференцирования для логарифмической функции \( \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \) и правило для линейной функции:

\[ f'(x) = 3 \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x)) + 2 \cdot \frac{d}{dx}(x) \]

Теперь подставим:

\[ f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{x} + 2 \]

Таким образом, производная функции \( f(x) = 3 \ln(x) + 2x \) равна \( f'(x) = \frac{3}{x} + 2 \).

4. \( f(x) = \frac{3^x}{e^x} \)

Эта функция может быть упрощена с использованием правила деления и свойства экспоненты:

\[ f(x) = 3^x e^{-x} \]

Чтобы найти производную, применим правило произведения:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3^x) \cdot e^{-x} + 3^x \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x}) \]

Где \( \frac{d}{dx}(3^x) = 3^x \ln(3) \) и \( \frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x} \):

\[ f'(x) = 3^x \ln(3) e^{-x} - 3^x e^{-x} \]

Теперь можно выделить \( 3^x e^{-x} \):

\[ f'(x) = 3^x e^{-x} (\ln(3) - 1) \]

Итак, производная функции \( f(x) = \frac{3^x}{e^x} \) равна \( f'(x) = 3^x e^{-x} (\ln(3) - 1) \).

5. \( f(x) = (x^2 - 4x)^3 \)

Здесь применим правило цепи: если \( f(g(x)) \) — то \( f'(g(x)) \cdot g'(x) \). Обозначим \( g(x) = x^2 - 4x \) и \( f(u) = u^3 \), тогда:

\[ f'(u) = 3u^2 \]

Сначала находим \( g'(x) \):

\[ g'(x) = 2x - 4 \]

Теперь применяем правило цепи:

\[ f'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 3(x^2 - 4x)^2 (2x - 4) \]

Следовательно, производная функции \( f(x) = (x^2 - 4x)^3 \) равна:

\[ f'(x) = 3(x^2 - 4x)^2 (2x - 4) \]

Итоговые производные:

1. \( f'(x) = 3x^2 \)
2. \( f'(x) = \cos x \)
3. \( f'(x) = \frac{3}{x} + 2 \)
4. \( f'(x) = 3^x e^{-x} (\ln(3) - 1) \)
5. \( f'(x) = 3(x^2 - 4x)^2 (2x - 4) \)