На числовой прямой даны два отрезка: Р = [10; 25] и Q[20; 55]. Укажите наибольшую возможную длину та-кого отрезка А, что выражение (х є А)→((x ∈ P) v (x ∈Q)) истинно при любом…

Чтобы решить задачу, давайте сначала разберёмся с определениями и условиями.

Дано:

• Два отрезка на числовой прямой:
  • \( P = [10; 25] \)
  • \( Q = [20; 55] \)

Нам нужно:

Указать наибольшую возможную длину отрезка \( A \), чтобы для любого \( x \) из \( A \) выполнялось условие: \[ (x \in A) \rightarrow ((x \in P) \lor (x \in Q)) \]

Понимание логического выражения:

Логическая конструкция \( (x \in A) \rightarrow ((x \in P) \lor (x \in Q)) \) означает, что если \( x \) принадлежит отрезку \( A \), то \( x \) должен принадлежать хотя бы одному из отрезков \( P \) или \( Q \). Если \( x \) не принадлежит \( P \) и не принадлежит \( Q \), то это приводит к falsity (ложному значению).

Изучение пересечения отрезков:

Чтобы понять, какие точки могут принадлежать отрезку \( A \), изучим пересечение отрезков \( P \) и \( Q \):

• \( P = [10; 25] \)
• \( Q = [20; 55] \)

Пересечение \( P \) и \( Q \):

• Начало пересечения: \( \max(10, 20) = 20 \)
• Конец пересечения: \( \min(25, 55) = 25 \)

Таким образом, пересечение \( P \) и \( Q \): \[ P \cap Q = [20; 25] \]

Выбор отрезка \( A \):

Мы можем выбрать отрезок \( A \) так, чтобы его элементы принадлежали единственному из отрезков \( P \) или \( Q \), чтобы условие было истинным.

Найдем возможные диапазоны для \( A \):

1. Только элементы из \( P \).

   • Наименьший элемент = 10
   • Наибольший элемент = 25
   • Тогда \( A = [10; 25] \) – длина \( = 25 - 10 = 15 \)

2. Только элементы из \( Q \).

   • Наименьший элемент = 20
   • Наибольший элемент = 55
   • Тогда \( A = [20; 55] \) – длина \( = 55 - 20 = 35 \)

3. Элементы и из \( P \), и из \( Q \).

   • Для \( A \) следует, чтобы все его элементы были в пределах пересечения отрезков, откуда: \[ A = [20; 25] \quad (длина = 25 - 20 = 5) \]

Итог:

Сравнив длины возможных вариантов \( A \):

• Длина отрезка \( [10; 25] \) равна 15
• Длина отрезка \( [20; 55] \) равна 35
• Длина отрезка \( [20; 25] \) равна 5

Наибольшая возможная длина отрезка \( A \) равна: \[ \boxed{35} \]

Итак, ответ на задачу: наибольшая длина отрезка \( A \) составляет 35, и этот отрезок может быть представлен как \( [20; 55] \).