Найти f'(хо), если a) f(x) = (3x - 5)3+ (3-x)2 при хо=2
Чтобы найти производную функции \( f(x) \) в точке \( x_0 = 2 \), сначала нужно определить саму функцию и затем использовать правила дифференцирования. Давайте сделаем это шаг за шагом.
Запишем функцию: \[ f(x) = (3x - 5)^3 + (3 - x)^2 \]
Найдём производную \( f'(x) \) с использованием правил дифференцирования.
Шаг 1: Найти производную \( f'(x) \)
Применим правило производной для суммы - производная суммы равна сумме производных, а также используем правило производной для степени и правило производной для сложных функций (правило цепочки).
Для первой части: \( (3x - 5)^3 \) Используем правило производной: \( (u^n)' = n u^{n-1} u' \), где \( u = 3x - 5 \) и \( n = 3 \). \[ u' = \frac{d}{dx}(3x - 5) = 3 \] Теперь, применив правило: \[ \frac{d}{dx}[(3x - 5)^3] = 3(3x - 5)^2 \cdot 3 = 9(3x - 5)^2 \]
Для второй части: \( (3 - x)^2 \) Снова воспользуемся правилом производной для степени: \[ u = 3 - x, \quad u' = \frac{d}{dx}(3 - x) = -1 \] Тогда: \[ \frac{d}{dx}[(3 - x)^2] = 2(3 - x) \cdot (-1) = -2(3 - x) \]
Теперь, объединяя обе производные: \[ f'(x) = 9(3x - 5)^2 - 2(3 - x) \]
Шаг 2: Подставить \( x_0 = 2 \)
Теперь мы можем подставить значение \( x_0 = 2 \) в \( f'(x) \): \[ f'(2) = 9(3 \cdot 2 - 5)^2 - 2(3 - 2) \] Считаем поэтапно: \[ = 9(6 - 5)^2 - 2(1) = 9(1)^2 - 2(1) = 9 \cdot 1 - 2 = 9 - 2 = 7 \]
Ответ:
Таким образом, значение производной \( f'(x) \) в точке \( x_0 = 2 \) равно \( 7 \).
\[ f'(2) = 7 \]
