В треугольнике  M N K MNK угол  N M K NMK равен  3 5 ∘ 35 ∘ ,  M K = K N MK=KN. Найди внешний угол при вершине  K K.

Для решения задачи о треугольнике \( \triangle MNK \), где угол \( \angle NMK = 35^\circ \) и \( MK = KN \), начнем с того, что данный треугольник – это равнобедренный треугольник, так как две его стороны равны. Это означает, что углы при основании (углы \( \angle MNK \) и \( \angle MKN \)) также равны. 1. **Определение углов при основании:** В равнобедренном треугольнике сумма углов равна \( 180^\circ \). Поэтому, зная один угол, можем выразить два других. \[ \angle MNK + \angle MKN + \angle NMK = 180^\circ \] Подставим известные значения: \[ \angle MNK + \angle MKN + 35^\circ = 180^\circ \] Поскольку \( \angle MNK = \angle MKN \), обозначим их как \( x \): \[ x + x + 35^\circ = 180^\circ \] \[ 2x + 35^\circ = 180^\circ \] 2. **Решаем уравнение:** Выразим \( x \): \[ 2x = 180^\circ - 35^\circ \] \[ 2x = 145^\circ \] \[ x = \frac{145^\circ}{2} = 72.5^\circ \] Таким образом, мы узнали, что: \[ \angle MNK = 72.5^\circ \quad \text{и} \quad \angle MKN = 72.5^\circ \] 3. **Нахождение внешнего угла при вершине K:** Внешний угол при вершине \( K \) равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В нашем случае это \( \angle MNK \) и \( \angle MKN \): \[ \angle K_{внешний} = \angle MNK + \angle MKN = 72.5^\circ + 72.5^\circ \] \[ \angle K_{внешний} = 145^\circ \] Таким образом, внешний угол при вершине \( K \) равен \( 145^\circ \).