Давайте рассмотрим произвольный треугольник ABC и обозначим медиану, проведенную из вершины A к стороне BC, как AD, где D – середина отрезка BC. Также обозначим высоту, проведенную из вершины A к стороне BC, как AH, где H – точка падения перпендикуляра из A на BC.
Для доказательства неравенства AD ≥ AH воспользуемся теорией о площади треугольника.
Площадь треугольника ABC можно выразить через высоту AH и основание BC:
[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH. ]
Также мы можем выразить площадь этого же треугольника через медиану AD и отрезок BD (или DC, поскольку D – середина):
Пусть длина BC равна ( a ), а длина AD равна ( m ). По формуле для площади через медиану имеем:
[ S = \frac{2}{3} \cdot AD \cdot h_{a}, ]
где ( h_a ) – высота треугольника, проведенная из A на сторону BC.
Сравним площади:
Из предыдущих равенств у нас получится, что ( AD \cdot h_{a} \geq AH \cdot a ).
Исходя из геометрических свойств треугольника мы знаем, что медиана и высота из одной и той же вершины связаны между собой. Таким образом, следуя из этого и при использовании неравенства, получим, что медиана является не менее высоты:
[ AD \geq AH. ]
Это завершает доказательство того, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины.
