В урне имеется 20 шаров, среди которых 12 красного цвета. Из урны наудачу извлекают 5 шаров. Найти вероятно того, что извлечённые шары не красные В партии из 15 деталей имеется 3…

Давайте решим обе задачи, шаг за шагом объясняя каждое действие.

Первая задача:

В урне имеется 20 шаров, из которых 12 – красного цвета. Из урны наудачу извлекаем 5 шаров. Мы хотим найти вероятность того, что все извлеченные шары не красные.

1. Определение количества шаров не красного цвета:

   • Всего шаров: 20
   • Красные шары: 12
   • Следовательно, количество шаров не красного цвета (например, синих): \[ 20 - 12 = 8 \]

2. Вычисление общего количества способов выбрать 5 шаров: Мы можем выбрать 5 шаров из 20 любым способом. Это можно выразить с помощью комбинаторной формулы: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \(n\) — общее количество предметов, а \(k\) — количество выбираемых предметов. Для нашей задачи: \[ C(20, 5) = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20!}{5! \cdot 15!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15504 \]

3. Вычисление количества способов выбрать 5 шаров не красного цвета: Теперь мы считаем, сколько способов можно выбрать 5 шаров только из 8 не красных: \[ C(8, 5) = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \]

4. Вычисление вероятности: Вероятность того, что все 5 извлеченных шаров не красные, равна: \[ P(A) = \frac{C(8, 5)}{C(20, 5)} = \frac{56}{15504} \approx 0.0036 \]

Вторая задача:

В партии из 15 деталей имеется 3 стандартных. Мы выбираем 4 детали и хотим найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 2 стандартных.

1. Определим количество стандартных и нестандартных деталей:

   • Всего деталей: 15
   • Стандартных деталей: 3
   • Нестандартных деталей: \(15 - 3 = 12\)

2. Как можно выбрать 2 стандартные детали: Сначала найдем, сколько способов можно выбрать 2 стандартные детали из 3: \[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3}{1} = 3 \]

3. Как можно выбрать 2 нестандартные детали: Теперь найдем, сколько способов можно выбрать 2 нестандартные детали из 12: \[ C(12, 2) = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66 \]

4. Общее количество успешных исходов: Произведем число вариантов выбора стандартных и нестандартных деталей: \[ \text{Успешные исходы} = 3 \times 66 = 198 \]

5. Общее количество способов выбрать 4 детали из 15: Теперь вычислим общее количество способов выбрать 4 детали из 15: \[ C(15, 4) = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365 \]

6. Вычисление вероятности: Вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 2 стандартных: \[ P(B) = \frac{\text{Успешные исходы}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{198}{1365} \approx 0.145 \]

Итог:

1. Первая задача: Вероятность того, что все извлеченные шары не красные, составляет примерно 0.0036.
2. Вторая задача: Вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 2 стандартных, составляет примерно 0.145.